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\part{Tabelas de verdade}
\label{ch.TruthTables}
\addtocontents{toc}{\protect\mbox{}\protect\hrulefill\par}

\chapter{Tabelas de verdade características}
\label{s:CharacteristicTruthTables}
%Any sentence of TFL is composed of sentence letters, possibly combined using sentential connectives. The truth value of the compound sentence depends only on the truth value of the sentence letters that comprise it. In order to know the truth value of `$(D \eand E)$', for instance, you only need to know the truth value of `$D$' and the truth value of `$E$'. 

Qualquer sentença de LVF é composta de letras sentenciais, possivelmente combinadas usando-se conectivos sentenciais. O valor de verdade da sentença composta depende apenas do valor de verdade das letras sentenciais que a compõem. A fim de saber o valor de verdade de `$(D \eand E)$',, por exemplo, voê precisa somente saber o valor de verdade de `$D$' e o valor de verdade de `$E$'.
%We introduced five connectives in chapter \ref{s:TFLConnectives}, so we simply need to explain how they map between truth values. For convenience, we will abbreviate `True' with `T' and `False' with `F'. (But just to be clear, the two truth values are True and False; the truth values are not \emph{letters}!)
%

Introduzimos cinco conectivos no capítulo  \ref{s:TFLConnectives}, assim precisamos simplesmente explicar como eles mapeiam entre valores de verdade. Por conveniência, abreviaremos `Verdadeiro' por `V' e `Falso' por `F' (mas para ser claro, os dois valores de verdade são o Verdadeiro e o Falso; os valores de verdade não são \emph{letras}).


\newglossaryentry{truth value}
                 {
                   name = truth value,
                   description = {One of the two logical values sentences can have: True and False}
                   }

%\paragraph{Negação} For any sentence \meta{A}: If \meta{A} is true, then \enot\meta{A} is false. If \enot\meta{A} is true, then \meta{A} is false. We can summarize this in the \emph{characteristic truth table} for negation:
\paragraph{Negação} Para qualquer sentença \meta{A}: se \meta{A} for verdadeira, então \enot\meta{A} será falsa. Se \enot\meta{A} for verdadeira, então \meta{A} será falsa. Podemos resumir isto na \emph{seguinte tabela de verdade característica} para negação:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
\meta{A} & \enot\meta{A}\\
\hline
V & F\\
F & V 
\end{tabular}
\end{center}

%\paragraph{Conjunction.} For any sentences \meta{A} and \meta{B}, \meta{A}\eand\meta{B} is true if and only if both \meta{A} and \meta{B} are true. We can summarize this in the {characteristic truth table} for conjunction:
\paragraph{Conjunção} Para quaisquer sentenças \meta{A} e \meta{B}, \meta{A}\eand\meta{B} será verdadeira se e somente se tanto \meta{A} como \meta{B} forem verdadeiras. Podemos resumir isto na  \emph{seguinte tabela de verdade característica} para conjunção:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c |c}
\meta{A} & \meta{B} & $\meta{A}\eand\meta{B}$\\
\hline
V & V & V\\
V & F & F\\
F & V & F\\
F & F & F
\end{tabular}
\end{center}
Note que a conjunção é \emph{simétrica}. O valor de verdade de $\meta{A} \eand \meta{B}$ é sempre o mesmo que o valor de verdade de $\meta{B} \eand \meta{A}$.
%Note that conjunction is \emph{symmetrical}. The truth value for $\meta{A} \eand \meta{B}$ is always the same as the truth value for $\meta{B} \eand \meta{A}$.  

%\paragraph{Disjunction.} Recall that `$\eor$' always represents inclusive or. So, for any sentences \meta{A} and \meta{B}, $\meta{A}\eor \meta{B}$ is true if and only if either \meta{A} or \meta{B} is true. We can summarize this in the {characteristic truth table} for disjunction:
\paragraph{Disjunção} Lembre-se de que `$\eor$' sempre representa a disjunção inclusivo. Desse modo, para quaisquer sentença \meta{A} e \meta{B}, $\meta{A}\eor \meta{B}$ será verdadeira se e somente se ou \meta{A} ou \meta{B} forem verdadeiras. Podemos resumir isto na  \emph{seguinte tabela de verdade característica} para disjunção:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|c}
\meta{A} & \meta{B} & $\meta{A}\eor\meta{B}$ \\
\hline
V & V & V\\
V & F & V\\
F & V & V\\
F & F & F
\end{tabular}
\end{center}
Como a conjunção, a disjunção é simétrica.%Like conjunction, disjunction is symmetrical. 
%\paragraph{Conditional.} We're just going to come clean and admit it: Conditionals are a right old mess in TFL. Exactly how much of a mess they are is \emph{philosophically} contentious. We'll discuss a few of the subtleties  in \S\S\ref{s:IndicativeSubjunctive} and \ref{s:ParadoxesOfMaterialConditional}.

\paragraph{Condicional} Deixando bastante claro, admitimos: condicionais são um antigo problema em LVF. O quanto os condicionais são problemáticos é filosoficamente  controverso. Discutiremos algumas sutilezas em \S\S\ref{s:IndicativeSubjunctive} e \ref{s:ParadoxesOfMaterialConditional}. Por enquanto, iremos estipular o seguinte: $\meta{A}\eif\meta{B}$ será falsa se e somente se \meta{A} for verdadeira e \meta{B} for falsa. Podemos resumir isto com \emph{seguinte tabela de verdade característica} para o condicional.

%  For now, we are going to stipulate the following: $\meta{A}\eif\meta{B}$ is false if and only if \meta{A} is true and \meta{B} is false. We can summarize this with a characteristic truth table for the conditional.
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|c}
\meta{A} & \meta{B} & $\meta{A}\eif\meta{B}$\\
\hline
V & V & V\\
V & F & F\\
F & V & V\\
F & F & V
\end{tabular}
\end{center}
O condicional é \emph{assimétrico}. Você não pode trocar o antecedente e consequente sem mudar o significado da sentença, pois $\meta{A}\eif\meta{B}$ tem uma tabela de verdade muito diferente de $\meta{B}\eif\meta{A}$.
%The conditional is \emph{asymmetrical}. You cannot swap the antecedent and consequent without changing the meaning of the sentence, because $\meta{A}\eif\meta{B}$ has a very different truth table from $\meta{B}\eif\meta{A}$.
%

\paragraph{Bicondicional} Uma vez que o bicondicional é o mesmo que a conjunção de um condicional em ambas as direções, desejamos que a tabela de verdade para o bicondicional seja:
%\paragraph{Biconditional.} Since a biconditional is to be the same as the conjunction of a conditional running in each direction, we will want the truth table for the biconditional to be:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|c}
\meta{A} & \meta{B} & $\meta{A}\eiff\meta{B}$\\
\hline
V & V & V\\
V & F & F\\
F & V & F\\
F & F & V
\end{tabular}
\end{center}
Sem surpresas, o bicondicional é simétrico.%Unsurprisingly, the biconditional is symmetrical. 

\chapter{Conectivos verofucionais}
\label{s:TruthFunctionality}

\section{A ideia de verofuncionalidade}
Vamos introduzir uma importante ideia.%Let's introduce an important idea. 
	\factoidbox{
		Um conectivo é \define{verofuncional} sse o valor de verdade de uma sentença com este conectivo como operador principal é unicamente determinado pelo(s) valore(s) de verdade da(s) sentença(s) constituinte(s).%A connective is \define{truth-functional} iff the truth value of a sentence with that connective as its main logical operator is uniquely determined by the truth value(s) of the constituent sentence(s).
	}
\newglossaryentry{truth-functional connective}
{
name=truth-functional connective,
description={an operator that builds larger sentences out of smaller ones and fixes the \gls{truth value} of the resulting sentence based only on the truth value of the component sentences}
}
%Every connective in TFL is truth-functional. The truth value of a negation is uniquely determined by the truth value of the unnegated sentence. The truth value of a conjunction is uniquely determined by the truth value of both conjuncts. The truth value of a disjunction is uniquely determined by the truth value of both disjuncts, and so on. To determine the truth value of some TFL sentence, we only need to know the truth value of its components. 

Todo conectivo em LVF é verofuncional. O valor de verdade de uma negação é unicamente determinada pelo valor de verdade da sentença que não é negada. O valor de verdade de uma conjunção é unicamente determinado pelo valor de verdade de ambos conjunctos. O valor de verdade da disjunção é unicamente determinado pelo valor de verdade de amos disjuntos e assim por diante. Para determinar o valor de verdade de alguma sentença de LVF, precisamos apenas saber o valor de verdade dos componentes dela.
        
É isto que dá à LVF seu nome: ela é \emph{verofuncional}.

%This is what gives TFL its name: it is \emph{truth-functional logic}.
%In plenty of languages there are connectives that are not truth-functional. In English, for example, we can form a new sentence from any simpler sentence by prefixing it with `It is necessarily the case that\ldots'.  The truth value of this new sentence is not fixed solely by the truth value of the original sentence. For consider two true sentences:

Em muitas linguagens, há conectivos  que não são verofuncionais. No Português, por exemplo, podemos formar uma nova sentença a partir de sentença mais simples, colocando na frente dela `é necessariamente o caso que\ldots'. O valor de verdade   desta nova sentença não é fixada apenas pelo valor de verdade da sentença original. Considere, pois, duas sentenças verdadeiras:
	\begin{earg}
		\item $2 + 2 = 4$
		\item Shostakovich escreveu quinze quartetos de cordas%wrote fifteen string quartets
	\end{earg}
% Whereas it is necessarily the case that $2 + 2 = 4$, it is not \emph{necessarily} the case that Shostakovich wrote fifteen string quartets. If Shostakovich had died earlier, he would have failed to finish Quartet no.\ 15; if he had lived longer, he might have written a few more. So `It is necessarily the case that\ldots' is a connective of English, but it is not \emph{truth-functional}.
Enquanto é necessariamente o caso que $2 + 2 = 4$, não é \emph{necessariamente} o caso que Shostakovich escreveu quinze quartetos de cordas. Se Shostakovich tivesse morrido prematuramente, ele não teria terminado o Quarteto número 15; se ele tivesse vivido mais, poderia ter escrito alguns outros quartetos. Destarte, `é necessariamente o caso que\ldots' é um conectivo do Português, mas não é \emph{verofuncional}.  


\section{Symbolizing versus translating}
%All of the connectives of TFL are truth-functional, but more than that: they really do nothing \emph{but} map us between truth values.  
Todos os conectivos de LVF são verofuncionais, mas mais do que isso: de fato, eles não fazem nada, exceto fazer um mape entre valores de verdade.
%When we symbolize a sentence or an argument in TFL, we ignore everything \emph{besides} the contribution that the truth values of a component might make to the truth value of the whole. There are subtleties to our ordinary claims that far outstrip their mere truth values. Sarcasm; poetry; snide implicature; emphasis; these are important parts of everyday discourse, but none of this is retained in TFL.

Quando simbolizamos uma sentença ou argumento em LVF, ignoramos tudo, exceto a contribuição que os valores de verdade de um componente poderiam dar para calcular o valor de verdade da sentença toda. Existem sutilezas em nossas reivindicações cotidianas que estão além dos meros valores de verdade: sarcasmo; poesia; malícia [\emph{snide implicature}]; ênfase. Estas são partes importantes do discurso cotidiano, mas nada disso é mantido em LVF. 

Como foi observado em \S\ref{s:TFLConnectives}, LVF não pode capturar as diferenças sutis entre as seguintes sentenças do Português:
%
%As remarked in \S\ref{s:TFLConnectives}, TFL cannot capture the subtle differences between the following English sentences:
	\begin{earg}
		\item Dana é um lógico e Dana é uma pessoa legal.%is a logician and Dana is a nice person
		\item Embora Dana seja lógico, Dana é uma pessoa legal.%Although Dana is a logician, Dana is a nice person
		\item Dana é um lógico, apesar de ser uma pessoa legal.%Dana is a logician despite being a nice person
		\item Dana é uma pessoa lega, mas também é lógico.%Dana is a nice person, but also a logician
		\item Não obstante o fato de Dana ser lógico, ele é uma pessoa legal.%Dana's being a logician notwithstanding, he is a nice person
	\end{earg}
Todas as sentença acima serão simbolizadas pela mesma sentença de LVF, talvez `$L \eand N$'.%All of the above sentences will be symbolized with the same TFL sentence, perhaps `$L \eand N$'.
%We keep saying that we use TFL sentences to \emph{symbolize} English sentences. Many other textbooks talk about \emph{translating} English sentences into TFL. However, a good translation should preserve certain facets of meaning, and---as we have just pointed out---TFL just cannot do that. This is why we will speak of \emph{symbolizing} English sentences, rather than of \emph{translating} them.
 
Continuaremos dizendo que usamos sentenças de LVF para \emph{simbolizar} sentenças do Português. Muitos outros manuais falam sobre \emph{traduzir} sentenças do Português para LVF. Todavia, uma boa tradução deveria preservar certas facetas de significado e --- como acabamos de apontar --- LVF não pode mesmo fazer isso.Por causa disso, falaremos de \emph{simbolizar} sentenças do Português, em vez de \emph{traduzi}-las.
%

Isto afeta como deveríamos entender nossa chave de simbolização. Considere uma chave como:
%
%This affects how we should understand our symbolization keys. Consider a key like:
	\begin{ekey}
		\item[L] Dana é um lógico.%is a logician.
		\item[N] Dana é uma pessoa legal.%is a nice person.
	\end{ekey}
%Other textbooks will understand this as a stipulation that the TFL sentence `$L$' should \emph{mean} that Dana is a logician, and that the TFL sentence `$N$' should \emph{mean} that Dana is a nice person, but TFL just is totally unequipped to deal with \emph{meaning}. The preceding symbolization key is doing no more and no less than stipulating that the TFL sentence `$L$' should take the same truth value as the English sentence `Dana is a logician' (whatever that might be), and that the TFL sentence `$N$' should take the same truth value as the English sentence `Dana is a nice person' (whatever that might be).
Outros manuais entenderão isto como uma estipulação de que a sentença de LVF `$L$' deveria \emph{significar} que Dana é um lógico e que a sentença de LVF `$N$' deveria \emph{significar} que Dana é uma pessoa legal. Contudo, LVF não é, de forma alguma, equipada para lidar com \emph{significado}. A chave de simbolização precedente está fazendo nem mais nem menos do que estipular que a sentença de LVF `$L$' deveria tomar o mesmo valor de verdade que a sentença do Português `Dana é um lógico' (seja qual valor poderia ser) e que a sentença de LVF `$N$' deveria tomar o mesmo valor de verdade qie a sentença do Português `Dana é uma pessoa legal' (seja qual valor poderia ser).
%	
%  
	\factoidbox{
		Quando tratamos uma sentença de LVF como simbolizando uma sentença do Português, estamos estipulando que a sentença de LVF tem de tomar o mesmo valor de verdade que o da sentença do Português. %When we treat a TFL sentence as \emph{symbolizing} an English sentence, we are stipulating that the TFL sentence is to take the same truth value as that English sentence.
	}


\section{Condicional indicativo versus condicional subjuntivo}\label{s:IndicativeSubjunctive}
%We want to bring home the point that TFL can \emph{only} deal with truth functions by considering the case of the conditional.  When we introduced the characteristic truth table for the material conditional in \S\ref{s:CharacteristicTruthTables}, we did not say anything to justify it. Let's now offer a justification, which follows Dorothy Edgington.\footnote{Dorothy Edgington, `Conditionals', 2006, in the \emph{Stanford Encyclopedia of Philosophy} (\url{http://plato.stanford.edu/entries/conditionals/}).} 
Queremos retornar ao ponto segundo o qual LVF pode \emph{somente} lidar com funções de verdade, considerando o caso do condicional. Quando introduzimos a tabela de verdade característica para o condicional materia em \S\ref{s:CharacteristicTruthTables}, não dissemos qualquer coisa para justificá-la. Iremos oferecer agora uma justificação, que segue Dorothy Edginton\footnote{Dorothy Edgington, `Conditionals', 2006, In:  \emph{Stanford Encyclopedia of Philosophy} (\url{http://plato.stanford.edu/entries/conditionals/}).}
%
%Suppose that Lara has drawn some shapes on a piece of paper, and coloured some of them in.  We have not seen them, but nevertheless claim:

Suponha que Lara tenha desenhado algumas formas em um pedaço de papel e coloriu o interior de algumas delas. Nós não as vimos, mas, não obstante, reivindicamos:
	\begin{quote}
		Se alguma forma é cinza, então esta forma é também círcular.%If any shape is grey, then that shape is also circular.
	\end{quote}
Acontece que Lara desenhou o seguinte:%As it happens, Lara has drawn the following:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\node[circle, grey_shape] (cat1) {A};
	\node[right=10pt of cat1, diamond, phantom_shape] (cat2)  { } ;
	\node[right=10pt of cat2, circle, white_shape] (cat3)  {C} ;
	\node[right=10pt of cat3, diamond, white_shape] (cat4)  {D};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%In this case, our claim is surely true.  Shapes C and D are not grey, and so can hardly present \emph{counterexamples} to our claim. Shape A \emph{is} grey, but fortunately it is also circular. So our claim has no counterexamples. It must be true. That means that each of the following \emph{instances} of our claim must be true too:
%
Neste caso, nossa reivindicação é certamente verdadeira. As formas C e D não são cinzas e dificilmente podem ser apresentadas como \emph{contraexemplos} a nossa reivindicação. A forma A \emph{é} cinza, mas, felizmente, ela também é circular. Desse modo, nossa reivindicação não tem contraexemplos. Ela deve ser verdadeira. Isto significa que cada uma das seguintes \emph{instâncias} de nossa reivindicação dever ser também verdadeiras:
%
	\begin{ebullet}
		\item Se A é cinza, então A é circular (antecedente verdadeiro, consequente verdadeiro).%If A is grey, then it is circular \hfill (true antecedent, true consequent)
		\item Se C é cinza, então C é circular (antecedente falso, consequente verdadeiro).%If C is grey, then it is circular\hfill (false antecedent, true consequent)
		\item Se D é cinza, então D é circular (antecedente falso, consequente falso).%If D is grey, then it is circular \hfill (false antecedent, false consequent)
	\end{ebullet}
Entretanto, se Lara tivesse desenhado uma quarta forma, assim:%However, if Lara had drawn a fourth shape, thus:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\node[circle, grey_shape] (cat1) {A};
	\node[right=10pt of cat1, diamond, grey_shape] (cat2)  {B};
	\node[right=10pt of cat2, circle, white_shape] (cat3)  {C};
	\node[right=10pt of cat3, diamond, white_shape] (cat4)  {D};
\end{tikzpicture}
\end{center}
então nossa reivindicação seria falsa. Desse maneira, deve ser o caso que esta reivindicação é falsa:%then our claim would be false. So it must be that this claim is false:
	\begin{ebullet}
		\item Se B é cinza, então B é circular (antecedente verdadeiro, consequente falso).%If B is grey, then it is circular \hfill (true antecedent, false consequent)
	\end{ebullet}
%Now, recall that every connective of TFL has to be truth-functional. This means that merely the truth values of the antecedent and consequent must uniquely determine the truth value of the conditional as a whole. Thus, from the truth values of our four claims---which provide us with all possible combinations of truth and falsity in antecedent and consequent---we can read off the truth table for the material conditional.
Ora, lembre-se de que todo conectivo de LVF tem de ser verofuncional. Isto significa meramente que os valores de verdade do antecedente e do consequente devem  determinar unicamente o valor de verdade do condicional como um todo. Assim, a partir dos valores de verdade de nossas quatro reivindicações --- que nos fornece com todas as combinações possíveis de verdade e falsidade no antecedente e no consequente ---, podemos  ler a tabela de verdade para o condicional material.
%	
%What this argument shows is that `$\eif$' is the \emph{best} candidate for a truth-functional conditional.  Otherwise put, \emph{it is the best conditional that TFL can provide}. But is it any good, as a surrogate for the conditionals we use in everyday language? Consider two sentences:

O que este argumento mostra é que `$\eif$' é o \emph{melhor} candidato para o condicional verofuncional. Dizendo de outra forma, \emph{é o melhor condicional que LVF pode fornecer}. Mas ele é bom como um substituto para os condicionais que usamos na linguagem cotidiana? Considere as duas sentenças:
%
% 
	\begin{earg}
		\item[\ex{brownwins1}] Se Mitt Romney tivesse vencido a eleição de 2012, ele teria sido o 45$^o$ Presidente dos Estados Unidos.%If Mitt Romney had won the 2012 election, then he would have been the 45th President of the USA.
		\item[\ex{brownwins2}] Se Mitt Romney tivesse vencido a eleição de 2012, então ele teria se transformado em um balão a hélio e flutuado para o céu noturno. %If Mitt Romney had won the 2012 election, then he would have turned into a helium-filled balloon and floated away into the night sky.
	\end{earg}
%Sentence \ref{brownwins1} is true; sentence \ref{brownwins2} is false, but both have false antecedents and false consequents. So the truth value of the whole sentence is not uniquely determined by the truth value of the parts. 
A sentença \ref{brownwins1} é verdadeira; a sentença \ref{brownwins2}  é falsa, mas ambas têm os antecedentes falsos e os consequentes falsos. Assim, o valor de verdade da sentença inteira não é unicamente determinado pelo valor de verdade das partes. Não assuma livremente que você possa simbolizar adequadamente um `se\dots,então\dots' do Português por `$\eif$' de LVF.

%Do not just blithely assume that you can adequately symbolize an English `if \dots, then \dots' with TFL's `$\eif$'. 
%The crucial point is that sentences \ref{brownwins1} and \ref{brownwins2} employ \emph{subjunctive} conditionals, rather than \emph{indicative} conditionals. They ask us to imagine something contrary to fact---Mitt Romney lost the 2012 election---and then ask us to evaluate what \emph{would} have happened in that case. Such considerations just cannot be tackled using `$\eif$'.
A questão crucial é que as sentenças \ref{brownwins1} e \ref{brownwins2} empregam condicionais \emph{subjuntivos} em vez de condicionais \emph{indicativos}. Eles nos pedem para imaginar algo contrário ao fato --- Mitt Romney perdeu a eleição de 2012 --- e, então, pede-nos para avaliar que \emph{teria} acontecido neste caso. Não é possível lidar com tais considerações, usando `$\eif$'.
%We will say more about the difficulties with conditionals in \S\ref{s:ParadoxesOfMaterialConditional}. 

Diremos mais sobre as dificuldades com condicionais em \S\ref{s:ParadoxesOfMaterialConditional}. Por enquanto, contentar-nos-emos com a observação de que `$\eif$' é o único candidato para o condicional verofuncional de LVF, mas que muitos condicionais do Português não podem ser adequadamente representados , usando-se  `$\eif$'. LVF é uma linguagem intrisicamente limitada.
%
%For now, we will content ourselves with the observation that `$\eif$' is the only candidate for a truth-functional conditional for TFL, but that many English conditionals cannot be represented adequately using `$\eif$'. TFL is an intrinsically limited language. 


\chapter{Tabelas de verdade completas}
\label{s:CompleteTruthTables}
%So far, we have considered assigning truth values to TFL sentences indirectly. 

Até agora, consideramos atribuir valores de verdade às sentenças de LVF indiretamente. Por exemplo, dissemos que uma sentença de LVF tal como `$B$' tem de tomar o mesmo valor de verdade que o da sentença do Português `Big Ben está em Londres' (seja qual for o valor de verdade), mas também podemos atribuir valores de verdade \emph{diretamente}. Podemos simplesmente estipular que `$B$' tem de ser verdadeira ou estipular que ela tem de ser falsa.
%
%We have said, for example, that a TFL sentence such as `$B$' is to take the same truth value as the English sentence `Big Ben is in London' (whatever that truth value may be), but we can also assign truth values \emph{directly}. We can simply stipulate that `$B$' is to be true, or stipulate that it is to be false.
	\factoidbox{
		Uma \define{valora\c{c}\~ao} é qualquer atribuição de valores de verdade a uma letra sentencial particular de LVF.%A \define{valuation} is any assignment of truth values to particular sentence letters of TFL.
	}

\newglossaryentry{valuation}
{
name=valuation,
description={An assignment of \glspl{truth value} to particular \glspl{sentence letter}}
}
%The power of truth tables lies in the following. Each row of a truth table represents a possible valuation.  The entire truth table represents all possible valuations; thus the truth table provides us with a means to calculate the truth values of complex sentences, on each possible valuation. This is easiest to explain by example.

O poder das tabelas de verdade encontra-se no seguinte. Cada linha de uma tabela de verdade representa uma valoração possível. A tabela de verdade inteira representa todas as valorações possíveis; desse modo, a tabela de verdade fornece-nos com um meio de calcular os valores de verdade de sentenças complexas em cada valoração possível. Isto é mais fácil de explicar com exemplos.


\section{Trabalhando com um exemplo [\emph{a worked example}]}
%Consider the sentence `$(H\eand I)\eif H$'. 
Considere a sentença `$(H\eand I)\eif H$'. Há quatro maneiras possíveis de atribuir Verdadeiro e Falso às letras sentenciais `$H$' e `$I$' --- quatro valorações possíveis --- que podemos representar com se segue:
%
%There are four possible ways to assign True and False to the sentence letter `$H$' and `$I$'---four possible valuations---which we can represent as follows:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e f}
$H$&$I$&$(H$&\eand&$I)$&\eif&$H$\\
\hline
 V & V\\
 V & F\\
 F & V\\
 F & F
\end{tabular}
\end{center}
Para calcular o valor de verdade da sentença inteira `$(H \eand I) \eif H$', copiamos, em primeiro lugar, os valores de verdade para as letras sentenciais e os escrevemos embaixo das letras na sentença.
%
%To calculate the truth value of the entire sentence `$(H \eand I) \eif H$', we first copy the truth values for the sentence letters and write them underneath the letters in the sentence:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e f}
$H$&$I$&$(H$&\eand&$I)$&\eif&$H$\\
\hline
 V & V & {V} & & {V} & & {V}\\
 V & F & {V} & & {F} & & {V}\\
 F & V & {F} & & {V} & & {F}\\
 F & F & {F} & & {F} & & {F}
\end{tabular}
\end{center}
%Now consider the subsentence `$(H\eand I)$'. This is a conjunction, $(\meta{A}\eand\meta{B})$, with `$H$' as \meta{A} and with `$I$' as \meta{B}. The characteristic truth table for conjunction gives the truth conditions for \emph{any} sentence of the form $(\meta{A}\eand\meta{B})$, whatever $\meta{A}$ and $\meta{B}$ might be. It represents the point that a conjunction is true iff both conjuncts are true. In this case, our conjuncts are just `$H$' and `$I$'.  They are both true on (and only on) the first line of the truth table. Accordingly, we can calculate the truth value of the conjunction on all four rows.
%
Considere agora a subsentença `$(H\eand I)$'. Isto é uma conjunção $(\meta{A}\eand\meta{B})$, onde `$H$' substitui \meta{A} e `$I$' substitui  \meta{B}. A tabela de verdade característica para a conjunção dá as condições de verdade para \emph{qualquer} sentença da forma $(\meta{A}\eand\meta{B})$, independente do que poderiam ser $\meta{A}$ e $\meta{B}$. A tabela representa o ponto no qual uma conjunção é verdadeira sse ambos conjunctos são verdadeiros. Neste caso, nossos conjunctos são exatamente `$H$' and `$I$'. Eles são ambos verdadeiros na primeira linha da tabela de verdade (e somente nela). De acordo com isso, podemos calcular o valor de verdade da conjunção em todas as quatro linhas.
%
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e f}
 & & \meta{A} & \eand & \meta{B} & & \\
$H$&$I$&$(H$&\eand&$I)$&\eif&$H$\\
\hline
 V & V & V & {V} & V & & V\\
 V & F & V & {F} & F & & V\\
 F & V & F & {F} & V & & F\\
 F & F & F & {F} & F & & F
\end{tabular}
\end{center}
%Now, the entire sentence that we are dealing with is a conditional, $\meta{A}\eif\meta{B}$, with `$(H \eand I)$' as \meta{A} and with `$H$' as \meta{B}.  On the second row, for example, `$(H\eand I)$' is false and `$H$' is true. Since a conditional is true when the antecedent is false, we write a `T' in the second row underneath the conditional symbol. We continue for the other three rows and get this:
Agora, a sentença inteira com a qual estamos lidando é um condicional  $\meta{A}\eif\meta{B}$, onde `$(H \eand I)$' substitui \meta{A} e `$H$' substitui \meta{B}. Na segunda linha, por exemplo, `$(H\eand I)$' é falsa e `$H$' é verdadeira. Uma vez que o condicional é verdadeiro quando o antecedente é falso, escrevemos um `V' na segunda linha embaixo do símbolo do condicional. Continuando para as outras três linhas, obtemos: 
%
%
\begin{center}
\begin{tabular}{c c| d e e e f}
 & &  & \meta{A} &  &\eif &\meta{B} \\
$H$&$I$&$(H$&\eand&$I)$&\eif&$H$\\
\hline
 V & V &  & {V} &  &{V} & V\\
 V & F &  & {F} &  &{V} & V\\
 F & V &  & {F} &  &{V} & F\\
 F & F &  & {F} &  &{V} & F
\end{tabular}
\end{center}
%The conditional is the main logical operator of the sentence, so the column of `T's underneath the conditional tells us that the sentence `$(H \eand I)\eif H$' is true regardless of the truth values of `$H$' and `$I$'. They can be true or false in any combination, and the compound sentence still comes out true. Since we have considered all four possible assignments of truth and falsity to `$H$' and `$I$'---since, that is, we have considered all the different \emph{valuations}---we can say that `$(H \eand I)\eif H$' is true on every valuation. Although it is more crowded, the truth table can be written in this way:

O condicional é o operador lógico principal da sentença, assim a coluna de `V's embaixo do condicional nos diz que a sentença `$(H \eand I)\eif H$' é verdadeira, independentemente dos valores de verdade de `$H$' e `$I$'. Elas podem ser verdadeiras ou falsas em qualquer combinação e a sentença composta ainda continuará verdadeira. Uma vez que consideramos todas as quatro possíveis atrinuições de verdade e falsidade a `$H$' e `$I$' --- ou seja, uma vez que consideramos todas as diferentes valorações ---, podemos dizer que  `$(H \eand I)\eif H$' é verdadeira em qualquer valoração.
%In this example, we have not repeated all of the entries in every column in every successive table. When actually writing truth tables on paper, however, it is impractical to erase whole columns or rewrite the whole table for every step.
Neste exemplo, não repetimos todas as entradas em qualquer coluna em qualquer tabela sucessiva. Na realidade, entretanto, quando escrevemos tabelas de verdade no papel, não é prático apagar colunas inteiras ou reescrever a tabela inteira a cada passo. Embora fique mais volumosa, a tabela de verdade pode ser escrita da seguinte maneira:
%
% 
\begin{center}
\begin{tabular}{c c| d e e e f}
$H$&$I$&$(H$&\eand&$I)$&\eif&$H$\\
\hline
 V & V & V & {V} & V & \TTbf{V} & V\\
 V & F & V & {F} & F & \TTbf{V} & V\\
 F & V & F & {F} & V & \TTbf{V} & F\\
 F & F & F & {F} & F & \TTbf{V} & F
\end{tabular}
\end{center}
%Most of the columns underneath the sentence are only there for bookkeeping purposes. The column that matters most is the column underneath the \emph{main logical operator} for the sentence, since this tells you the truth value of the entire sentence. We have emphasized this, by putting this column in bold. When you work through truth tables yourself, you should similarly emphasize it (perhaps by highlighting).

Muitas das colunas embaixo da sentença estão lá apenas para propósitos de contabilidade [\emph{for bookkeeping purposes}]. A coluna que mais importa é a coluna debaixo do \emph{operador lógico principal} da sentença, uma vez que isto lhe diz o valor de verdade da sentença inteira. Enfatizamos isso, colocando esta coluna em negrito. Quando você for trabalhar com as tabelas de verdade por conta própria, você deveria, da mesma maneira, enfatizar (talvez colorindo para realçar).
%
%
\section{Construindo tabelas de verdade completas}
%A \define{complete truth table} has a line for every possible assignment of True and False to the relevant sentence letters. Each line represents a \emph{valuation}, and a complete truth table has a line for all the different valuations. 
Uma \define{tabela de verdade completa} tem uma linha para qualquer atribuição possível de Verdadeiro e Falso às letras sentenciais relevantes. Cada linha representa uma \emph{valoração} e a tabela de verdade completa tem uma linha para todas as valorações diferentes.
%
%
\newglossaryentry{complete truth table}
{
name=complete truth table,
description={A table that gives all the possible \glspl{truth value} for a \gls{sentence of TFL} or sentences in TFL, with a line for every possible \gls{valuation} of all sentence letters}
}
%The size of the complete truth table depends on the number of different sentence letters in the table. A sentence that contains only one sentence letter requires only two rows, as in the characteristic truth table for negation. This is true even if the same letter is repeated many times, as in the sentence

O tamanho da tabela de verdade completa depende do número das diferentes letras sentenciais na tabela. Uma sentença que contém apenas uma letra sentencial exige apenas duas linhas como na tabela de verdade característica para negação. Isto é verdadeiro mesmo se a mesma letra é repetida várias vezes, como na sentença
%
%
`$[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$'.
A tabela de verdade completa exige somente duas linhas, porque há apenas duas possibilidades: `$C$' pode ser verdadeira ou pode ser falsa. A tabela de verdade para esta sentença é da seguinte forma:
%The complete truth table requires only two lines because there are only two possibilities: `$C$' can be true or it can be false. The truth table for this sentence looks like this:
\begin{center}
\begin{tabular}{c| d e e e e e e e e e e e e e e f}
$C$&$[($&$C$&\eiff&$C$&$)$&\eif&$C$&$]$&\eand&\enot&$($&$C$&\eif&$C$&$)$\\
\hline
 V &    & V &  V  & V &   & V  & V & &\TTbf{F}&  F& &   V &  V  & V &   \\
 F &    & F &  V  & F &   & F  & F & &\TTbf{F}&  F& &   F &  V  & F &   \\
\end{tabular}
\end{center}
%Looking at the column underneath the main logical operator, we see that the sentence is false on both rows of the table; i.e., the sentence is false regardless of whether `$C$' is true or false. It is false on every valuation.
Olhando para coluna embaixo do operador lógico principal, vemos que a sentença é falsa em ambas as linhas da tabela; ou seja, a sentença é falsa, independemente de se `$C$' é verdadeiro ou falso. Ela é falsa em qualquer valoração.
%

A sentença que contém duas letras sentenciais exige quatro linhas para uma tabela de verdade completa como nas tabelas de verdade características para os quatro conectivos binários e como na tabela de verdade completa para `$(H \eand I)\eif H$'.
%
%A sentence that contains two sentence letters requires four lines for a complete truth table, as in the characteristic truth tables for our binary connectives, and as in the complete truth table for `$(H \eand I)\eif H$'.

Uma sentença que contém três letras sentenciais exige oito linhas
%A sentence that contains three sentence letters requires eight lines:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c|d e e e f}
$M$&$N$&$P$&$M$&\eand&$(N$&\eor&$P)$\\
\hline
%           M        &     N   v   P
V & V & V & V & \TTbf{V} & V & V & V\\
V & V & F & V & \TTbf{V} & V & V & F\\
V & F & V & V & \TTbf{V} & F & V & V\\
V & F & F & V & \TTbf{F} & F & F & F\\
F & V & V & F & \TTbf{F} & V & V & V\\
F & V & F & F & \TTbf{F} & V & V & F\\
F & F & V & F & \TTbf{F} & F & V & V\\
F & F & F & F & \TTbf{F} & F & F & F
\end{tabular}
\end{center}
A partir desta tabela, sabemos que a sentença `$M\eand(N\eor P)$' pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores de verdade de `$M$', `$N$' e `$P$'.
%From this table, we know that the sentence `$M\eand(N\eor P)$' can be true or false, depending on the truth values of `$M$', `$N$', and `$P$'.
%

Uma tabela de verdade completa para uma sentença que contém quatro diferentes letras sentenciais exige 16 linhas. Cinco letras, 32 linhas. Seis letras, 64 linhas e assim por diante. Sendo completamente geral: se uma tabela de verdade tem $n$ diferentes letras sentenciais, então devem existir $2^n$ linhas.
%
%A complete truth table for a sentence that contains four different sentence letters requires 16 lines. Five letters, 32 lines. Six letters, 64 lines. And so on. To be perfectly general: If a complete truth table has $n$ different sentence letters, then it must have $2^n$ lines.
%In order to fill in the columns of a complete truth table, begin with the right-most sentence letter and alternate between `T' and `F'.  In the next column to the left, write two `T's, write two `F's, and repeat. For the third sentence letter, write four `T's followed by four `F's. This yields an eight line truth table like the one above. For a 16 line truth table, the next column of sentence letters should have eight `T's followed by eight `F's. For a 32 line table, the next column would have 16 `T's followed by 16 `F's, and so on.

Com o intuito de preencher as colunas de uma tabela de verdade completa, comece com a letra sentencial mais à direita e alterne `V' e `F'. Na próxima coluna à esquerda, escreve dois `V's e escreva escreva dois `F's e repita o procedimento. Para a terceira letra sentencial, escreva quatro `V's seguidos por quatro `F's. Isto produz uma tabela de verdade com oito linhas como a de cima. Para uma tabela com 16 linhas, a coluna a seguir de letras sentenciais deveriam ter oitos `V's seguidos por oito `F's. Para uma tabela com 32 linhas, a coluna a seguir teria 16 `V's seguidos por 16 `F's e assim por diante.
%
%  
%

\section{Mais sobre parênteses}\label{s:MoreBracketingConventions}
Considere estas duas sentenças:%Consider these two sentences:
	\begin{align*}
		((A \eand B) \eand C)\\
		(A \eand (B \eand C))
	\end{align*}
%

Estas são verofuncionalmente equivalentes. Consequentemente, nunca fará qualquer diferença da perspectiva do valor de verdade --- que é tudo que importa para LVF (veja \S\ref{s:TruthFunctionality}) --- qual das duas sentenças afirmamos (ou negamos). Ainda que a ordem dos parênteses não importa no que diz respeito à verdade delas. não deveríamos excluí-los. A expressão
%	
%These are truth functionally equivalent. Consequently, it will never make any difference from the perspective of truth value -- which is all that TFL cares about (see \S\ref{s:TruthFunctionality}) -- which of the two sentences we assert (or deny). Even though the order of the brackets does not matter as to their truth, we should not just drop them. The expression
	\begin{align*}
		A \eand B \eand C
	\end{align*}
é ambígua entre as duas sentenças acima. A mesma observação vale para disjunções. As seguintes sentenças são logicamente equivalentes:
%is ambiguous between the two sentences above.  The same observation holds for disjunctions. The following sentences are logically equivalent:
	\begin{align*}
		((A \eor B) \eor C)\\
		(A \eor (B \eor C))
	\end{align*}
Mas não deveríamos simplesmente escrever:%But we should not simply write:
	\begin{align*}
		A \eor B \eor C
	\end{align*}
%
Na realidade, isso é um fato específico sobre a tabela de verdade característica de $\eor$ e $\eand$ que garante que quaisquer duas conjunções (ou disjunções) contendo as mesmas sentenças são verofuncionalmente equivalentes, independentemente de como você coloca os parênteses. \emph{Isto é apenas verdadeiro de conjunções e disjunções}, entretanto. As seguintes duas sentenças têm \emph{diferentes} tabelas de verdade:
%	
%In fact, it is a specific fact about the characteristic truth table of $\eor$ and $\eand$ that guarantees that any two conjunctions (or disjunctions) of the same sentences are truth functionally equivalent, however you place the brackets. \emph{This is only true of conjunctions and disjunctions}, however. The following two sentences have \emph{different} truth tables:
	\begin{align*}
		((A \eif B) \eif C)\\
		(A \eif (B \eif C))
	\end{align*}
Desse modo, se escrevêssemos:%So if we were to write:
	\begin{align*}
		A \eif B \eif C
	\end{align*}
ela seria perigosamente ambígua. Excluir os parênteses seria desastroso. Similarmente, estas sentenças têm diferentes tabelas de verdade: %it would be dangerously ambiguous. Leaving out brackets in this case would be disastrous. Equally, these sentences have different truth tables:
	\begin{align*}
		((A \eor B) \eand C)\\
		(A \eor (B \eand C))
	\end{align*}
Assim, se escrevêssemos:%So if we were to write:
	\begin{align*}
		A \eor B \eand C
	\end{align*}
isso seria perigosamente ambíguo. \emph{Nunca escreva isto}. A moral é: nunca exclua os parênteses (exceto os mais externos).%it would be dangerously ambiguous. \emph{Never write this.} The moral is: never drop brackets (except the outermost ones).

\practiceproblems\label{pr.TT.TTorC}
\problempart
Apresente as tabelas de verdade completas para cada uma das seguintes sentenças:%Offer complete truth tables for each of the following:
\begin{earg}
\item $A \eif A$ %taut
\item $C \eif\enot C$ %contingent
\item $(A \eiff B) \eiff \enot(A\eiff \enot B)$ %tautology
\item $(A \eif B) \eor (B \eif A)$ % taut
\item $(A \eand B) \eif (B \eor A)$  %taut
\item $\enot(A \eor B) \eiff (\enot A \eand \enot B)$ %taut
\item $\bigl[(A\eand B) \eand\enot(A\eand B)\bigr] \eand C$ %contradiction
\item $[(A \eand B) \eand C] \eif B$ %taut
\item $\enot\bigl[(C\eor A) \eor B\bigr]$ %contingent
\end{earg}
\problempart
Cheque todas as reivindicações que foram feitas na introdução das novas convenções de notação em \S\ref{s:MoreBracketingConventions}, ou seja, mostre que:% Check all the claims made in introducing the new notational conventions in \S\ref{s:MoreBracketingConventions}, i.e.\ show that:
\begin{earg}
	\item `$((A \eand B) \eand C)$' and `$(A \eand (B \eand C))$' têm a mesma tabela de verdade%have the same truth table
	\item `$((A \eor B) \eor C)$' and `$(A \eor (B \eor C))$' têm a mesma tabela de verdade%have the same truth table
	\item `$((A \eor B) \eand C)$' and `$(A \eor (B \eand C))$' não têm a mesma tabela de verdade%do not have the same truth table
	\item `$((A \eif B) \eif C)$' and `$(A \eif (B \eif C))$' não têm a mesma tabela de verdade%do not have the same truth table
\end{earg}
Cheque também se:%Also, check whether:
\begin{earg}
	\item[5.] `$((A \eiff B) \eiff C)$' and `$(A \eiff (B \eiff C))$' têm a mesma tabela de verdade%have the same truth table
\end{earg}

\problempart
%Write complete truth tables for the following sentences and mark the column that represents the possible truth values for the whole sentence.
Escreva as tabelas de verdade completas das seguintes sentenças e marque a coluna que representa os valores de verdade possíveis da sentença inteira. 
\begin{earg}

\item $\enot (S \eiff (P \eif S))$

%\begin{tabular}{c|c|ccccc}
%\cline{2-2}
%1.	&	\enot 	&	(S 	&	\eiff	&	(P 	&	\eif	&	S))	\\ 
%\cline{2-7}
%	& 	F 		&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	\\
%	& 	F 		&	T	&	T	&	F	&	T	&	T	\\
%	& 	F 		&	F	&	T	&	T	&	F	&	F	\\
%	& 	T 		&	F	&	F	&	F	&	T	&	F	\\
%\cline{2-2}
%\end{tabular}


 \item $\enot [(X \eand Y) \eor (X \eor Y)]$

%\begin{tabular}{c|c|ccccccc}
%\cline{2-2}
%2.	&	\enot	&	 [(X 	&	\eand& 	Y) 	&	\eor 	&	(X 	&	\eor 	&	Y)] \\
%\cline{2-9}
%	&	F	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	\\
%	&	F	&	T	&	F	&	F	&	T	&	T	&	T	&	F	\\
%	&	F	&	F	&	F	&	T	&	T	&	F	&	T	&	T	\\
%	&	T	&	F	&	F	&	F	&	F	&	F	&	F	&	F	\\
%\cline{2-2}
%\end{tabular}


\item $(A \eif B) \eiff (\enot B\eiff \enot A)$
%\begin{tabular}{cccc|c|ccccc}
%\cline{5-5}
%3.	&	(A 	&	\eif	&	B)	&	 \eiff 	&	(\enot&	B 	&	\eiff 	&	 \enot 	& 	 A) \\
%\cline{2-10}
%	&	T	&	T	&	T	&	T		&	F	 &	T	&	T	&	F		&	T	\\	
%	&	T	&	F	&	F	&	T		&	T	 &	F	&	F	&	F		&	T	\\
%	&	F	&	T	&	T	&	F		&	F	 &	T	&	F	&	T		&	F	\\
%	&	F	&	T	&	F	&	T		&	T	 &	F	&	T	&	T		&	F	\\
%\cline{5-5}
%\end{tabular}

\item $[C \eiff (D \eor E)] \eand \enot C$

%\begin{tabular}{cccccc|c|cc}
%\cline{7-7}
%4.	&	[C 	&	\eiff 	&	(D 	&	\eor 	&	E)] 	&	\eand 	&	 \enot 	&	 C \\
%\cline{2-9}
%	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	&	F		&	F		&	T	\\
%	&	T	&	T	&	T	&	T	&	F	&	F		&	F		&	T	\\
%	&	T	&	T	&	F	&	T	&	T	&	F		&	F		&	T	\\
%	&	T	&	F	&	F	&	F	&	F	&	F		&	F		&	T	\\
%	&	F	&	F	&	T	&	T	&	T	&	F		&	T		&	F	\\
%	&	F	&	F	&	T	&	T	&	F	&	F		&	T		&	F	\\
%	&	F	&	F	&	F	&	T	&	T	&	F		&	T		&	F	\\
%	&	F	&	T	&	F	&	F	&	F	&	T		&	T		&	F	\\
%\cline{7-7}
%\end{tabular}

\item $\enot(G \eand (B \eand H)) \eiff (G \eor (B \eor H))$
%
%\begin{tabular}{ccccccc|c|ccccc}
%\cline{8-8}
%5.	&\enot&	(G 	&\eand &	(B 	&	 \eand 	&	 H))	&	\eiff 	&	(G 	& \eor 	& (B 	& \eor	& H))	\\
%\cline{2-13}
%	&F	   &	T	&	  T &	T	&	T		&	T	&	F	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	\\
%	&T	   &	T	&	  F &	T	&	F		&	F	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	&	F	\\	
%	&T	   &	T	&	 F  &	F	&	F		&	T	&	T	&	T	&	T	&	F	&	T	&	T	\\
%	&T	   &	T	&	 F  &	F	&	F		&	F	&	T	&	T	&	T	&	F	&	F	&	F	\\
%	&T	   &	F	&	F   &	T	&	T		&	T	&	T	&	F	&	T	&	T	&	T	&	T	\\
%	&T	   &	F	&	F   &	T	&	F		&	F	&	T	&	F	&	T	&	T	&	T	&	F	\\
%	&T	   &	F	&	F   &	F	&	F		&	T	&	T	&	F	&	T	&	F	&	T	&	T	\\
%	&T	   &	F	&	F   &	F	&	F		&	F	&	F	&	F	&	F	&	F	&	F	&	F	\\
%\cline{8-8}
%\end{tabular}

%\vspace{1em}

\end{earg}

\problempart
%Write complete truth tables for the following sentences and mark the column that represents the possible truth values for the whole sentence.
Escreva as tabelas de verdade completas das seguintes sentenças e marque a coluna que representa os valores de verdade possíveis da sentença inteira. 
\begin{earg}

\item	$(D \eand \enot D) \eif G $

%\vspace{1em}

%\begin{tabular}{ccccc|c|c}
%\cline{6-6}
%1.	&	(D 	&	 \eand 	& 	 \enot	&	 D) 	&	 \eif 	&	 G \\
%	&	T	&	F		&	F		&	T	&	T	&	T	\\
%	&	T	&	F		&	F		&	T	&	T	&	F	\\
%	&	F	&	F		&	T		&	F	&	T	&	T	\\
%	&	F	&	F		&	T		&	F	&	T	&	F	\\
%\cline{6-6}
%\end{tabular}
%\vspace{1em}


\item	$(\enot P \eor \enot M) \eiff M $

%\begin{tabular}{cccccc|c|c}
%\cline{7-7}
%2.	&	(\enot 	&	P 	&	\eor 	&	\enot 	& 	 M) 	& 	\eiff 	&	 M \\
%	&	F		&	T	&	F	&	F		&	T	&	T	&	T	\\
%	&	F		&	T	&	T	&	T		&	F	&	F	&	F	\\
%	&	T		&	F	&	T	&	F		&	T	&	T	&	T	\\
%	&	T		&	F	&	T	&	T		&	F	&	T	&	F	\\
%\cline{7-7}
%\end{tabular}
%\vspace{1em}



\item	$\enot \enot (\enot A \eand \enot B)  $

%\begin{tabular}{c|c|cccccc}
%\cline{2-2}
%3.	&	\enot		&	 \enot 	&	(\enot 	& 	 A 	& \eand 	& 	\enot 	&	 B)  \\
%	&	F		&	T		&	F		&	T	&	F	&	F		&	T	\\
%	&	F		&	T		&	F		&	T	&	F	&	T		&	F	\\
%	&	F		&	T		&	T		&	F	&	F	&	F		&	T	\\
%	&	T		&	F		&	T		&	F	&	T	&	T		&	F	\\
%\cline{2-2}
%\end{tabular}
%\vspace{1em}



\item 	$[(D \eand R) \eif I] \eif \enot(D \eor R) $

%\begin{tabular}{cccccc|c|cccc}
%\cline{7-7}
%4.	&	[(D 	& 	 \eand 	& 	 R)	& 	\eif 	&	I] 	&	\eif 	&	 \enot 	&	(D 	&	 \eor 	& R) \\
%	&	T	&	T		&	T	&	T	&	T	&	F	&	F		&	T	&	T		&T	\\
%	&	T	&	T		&	T	&	F	&	F	&	T	&	F		&	T	&	T		&T	\\
%	&	T	&	F		&	F	&	T	&	T	&	F	&	F		&	T	&	T		&F	\\
%	&	T	&	F		&	F	&	T	&	F	&	F	&	F		&	T	&	T		&F	\\
%	&	F	&	F		&	T	&	T	&	T	&	F	&	F		&	F	&	T		&T	\\
%	&	F	&	F		&	T	&	T	&	F	&	F	&	F		&	F	&	T		&T	\\
%	&	F	&	F		&	F	&	T	&	T	&	T	&	T		&	F	&	F		&F	\\
%	&	F	&	F		&	F	&	T	&	F	&	T	&	T		&	F	&	F		&F	\\
%\cline{7-7}
%\end{tabular}
%	
%\vspace{1em}


\item	$\enot [(D \eiff O) \eiff A] \eif (\enot D \eand O) $

%\begin{tabular}{ccccccc|c|cccc}
%\cline{8-8}
%5.	&	\enot 	&	[(D 	&	\eiff 	&	O) 	&	\eiff 	&	 A]	& 	\eif 	 &	(\enot 	& 	D 	 & 	 \eand &O) \\ 
%	&	F		&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	&	T	&	F		&	T	&	F	&T	\\
%	&	T		&	T	&	T	&	T	&	F	&	F	&	F	&	F		&	T	&	F	&T	\\
%	&	T		&	T	&	F	&	F	&	F	&	T	&	F	&	F		&	T	&	F	&F	\\
%	&	F		&	T	&	F	&	F	&	T	&	F	&	T	&	F		&	T	&	F	&F	\\
%	&	T		&	F	&	F	&	T	&	F	&	T	&	T	&	T		&	F	&	T	&T	\\
%	&	F		&	F	&	F	&	T	&	T	&	F	&	T	&	T		&	F	&	T	&T	\\
%	&	F		&	F	&	T	&	F	&	T	&	T	&	T	&	T		&	F	&	F	&F	\\
%	&	T		&	F	&	T	&	F	&	F	&	F	&	T	&	T		&	F	&	F	&F	\\
%\cline{8-8}
%\end{tabular}
%\vspace{1em}
\end{earg}


%If you want additional practice, you can construct truth tables for any of the sentences and arguments in the exercises for the previous chapter.


\chapter{Conceitos semânticos}
\label{s:SemanticConcepts}

%In the previous section, we introduced the idea of a valuation and showed how to determine the truth value of any TFL sentence, on any valuation, using a truth table. In this section, we will introduce some related ideas, and show how to use truth tables to test whether or not they apply.
Nos capítulos anteriores, introduzimos a ideia de valoração e mostramos como determinar o valor de verdade de qualquer sentença de LVF em qualquer valoração, usando a tabela de verdade. Neste capítulo, introduziremos algumas ideias relacionadas e mostraremos como usar as tabelas de verdade para testar se estas ideias se aplicam ou não.

\section{Tautologies and contradictions}
Em \S\ref{s:BasicNotions}, explicamos \emph{verdade necessária} e \emph{falsidade necessária}. Ambas noções têm representantes em LVF. Começaremos com um representante para verdade necessária.
%In \S\ref{s:BasicNotions}, we explained \emph{necessary truth} and \emph{necessary falsity}. Both notions have surrogates in TFL. We will start with a surrogate for necessary truth.
	\factoidbox{
		$\meta{A}$ é uma \define{tautologia} (em LVF) sse ela é verdadeira em qualquer valoração.%is a \define{tautology} iff it is true on every valuation.
	}

\newglossaryentry{tautology}
{
name=tautology,
description={A sentence that has only Ts in the column under the main logical operator of its \gls{complete truth table}; a sentence that is true on every \gls{valuation}}
}

Podemos determinar se uma sentença é uma tautologia, usando apenas tabelas de verdade. Se a sentença é verdadeira em qualquer linha de uma tabela de verdade completa, então ela é verdadeira em qualquer valoração e, desse modo, ela é uma tautologia. No exemplo de \S\ref{s:CompleteTruthTables},  the sentence is true on every line of a complete truth table, then it is true on every valuation, so it is a tautology. In the example of \S\ref{s:CompleteTruthTables}, `$(H \eand I) \eif H$' é uma tautologia.
%We can determine whether a sentence is a tautology just by using truth tables. If the sentence is true on every line of a complete truth table, then it is true on every valuation, so it is a tautology. In the example of \S\ref{s:CompleteTruthTables}, `$(H \eand I) \eif H$' is a tautology. 
%
%This is only, though, a \emph{surrogate} for necessary truth. There are some necessary truths that we cannot adequately symbolize in TFL. An example is `$2 + 2 = 4$'. This \emph{must} be true, but if we try to symbolize it in TFL, the best we can offer is an sentence letter, and no sentence letter is a tautology.  Still, if we can adequately symbolize some English sentence using a TFL sentence which is a tautology, then that English sentence expresses a necessary truth.
%

Entretanto, isto é somente um representante para verdade necessária. Há algumas verdades necessárias que não podem ser adequadamente simbolizadas em LVF. Um exemplo é `$2 + 2 = 4$'. Isto \emph{deve} ser verdadeiro, mas se tentarmos simbolizá-lo em LVF, o melhor que podemos oferecer é uma letra sentencial e nenhuma letra sentencial é uma tautologia. Ainda assim, se pudermos adequadamente simbolizar algumas sentenças do Português usando sentenças de LVF que é uma tautologia, então esta sentença do Português expressa uma verdade necessária.

Temos um representante similar para falsidade necessária:%We have a similar surrogate for necessary falsity:
	\factoidbox{
		$\meta{A}$ é uma \define{contradi\c{c}\~ao} (em LVF) sse ela é falsa em qualquer valoração.%is a \define{contradiction} (in TFL) iff it is false on every valuation.
	}
\newglossaryentry{contradiction of TFL}
{
  name=contradiction (of TFL),
  text = contradiction,
description={A sentence that has only Fs in the column under the main logical operator of its \gls{complete truth table}; a sentence that is false on every \gls{valuation}}
}

Podemos determinar se uma sentença é uma contradição usando apenas tabelas de verdade. Se uma sentença é falsa em qualquer linha de uma tabela de verdade completa, então ela é falsa em qualquer valoração e, desse modo, ela é uma contradição. No exemplo de \S\ref{s:CompleteTruthTables}, `$[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$' é uma contradição.
%We can determine whether a sentence is a contradiction just by using truth tables. If the sentence is false on every line of a complete truth table, then it is false on every valuation, so it is a contradiction. In the example of \S\ref{s:CompleteTruthTables}, `$[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$' is a contradiction.


\section{Equivalência}
Aqui está uma noção similar útil:%Here is a similar useful notion:
	\factoidbox{
		$\meta{A}$ e $\meta{B}$ são \define{equivalentes} (em LVF) sse, para qualquer valoração, os valores de verdade delas coincidem, ou seja, se não há naloração na qual elas tê valores de verdade opostos.%$\meta{A}$ and $\meta{B}$ are \define{equivalent} (in TFL) iff, for every valuation, their truth values agree, i.e.\ if there is no valuation in which they have opposite truth values.
	}
\newglossaryentry{equivalent}
{
  name=equivalence (in TFL),
  text = equivalent,
description={A property held by pairs of sentences if and only if the \gls{complete truth table} for those sentences has identical columns under the two main logical operators, i.e., if the sentences have the same truth value on every valuation}
}
%We have already made use of this notion, in effect, in \S\ref{s:MoreBracketingConventions}; the point was that `$(A \eand B) \eand C$' and  `$A \eand (B \eand C)$' are equivalent. Again, it is easy to test for equivalence using truth tables.  Consider the sentences `$\enot(P \eor Q)$' and `$\enot P \eand \enot Q$'.  Are they equivalent? To find out, we construct a truth table.

Na realidade, já usamos esta noção em \S\ref{s:MoreBracketingConventions}; o ponto era que  `$(A \eand B) \eand C$' e  `$A \eand (B \eand C)$' são equivalentes. Novamente, é fácil fazer um teste para equivalência usando tabelas de verdade. Considere as sentenças `$\enot(P \eor Q)$' e `$\enot P \eand \enot Q$'. Elas são equivalentes? Para descobrir isso, construímos uma tabela de verdade.
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e f |d e e e f}
$P$&$Q$&\enot&$(P$&\eor&$Q)$&\enot&$P$&\eand&\enot&$Q$\\
\hline
 V & V & \TTbf{F} & V & V & V & F & V & \TTbf{F} & F & V\\
 V & F & \TTbf{F} & V & V & F & F & V & \TTbf{F} & V & F\\
 F & V & \TTbf{F} & F & V & V & V & F & \TTbf{F} & F & V\\
 F & F & \TTbf{V} & F & F & F & V & F & \TTbf{V} & V & F
\end{tabular}
\end{center}
%
Olhe para as colunas dos operadores lógicos principais; a negação para primeira sentença, conjunção para a segunda. Na primeiras três linhas, ambas sentenças são falsas. Na linha final, ambas são verdadeiras. Uma vez que elas coicidem em cada linha, as suas sentenças são equivalentes.
%
%Look at the columns for the main logical operators; negation for the first sentence, conjunction for the second. On the first three rows, both are false. On the final row, both are true. Since they match on every row, the two sentences are equivalent.


\section{Satisfatibilidade}
Em \S\ref{s:BasicNotions}, disemos que sentenças são conjuntamente possíveis sse é possível que todas elas sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Podemos oferecer um representante para esta noção também:
%In \S\ref{s:BasicNotions}, we said that sentences are jointly possible iff it is possible for all of them to be true at once. We can offer a surrogate for this notion too:
	\factoidbox{
		$\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ são \define{conjuntamente satisfat\'veis} (em LVF) sse há alguma valoração que as faz todas verdadeiras.%$\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ are \define{jointly satisfiable} (in TFL) iff there is some valuation which makes them all true.
	}

        \newglossaryentry{satisfiability in TFL}
{
  name=satisfiability (in TFL),
  text=jointly satisfiable,
description={A property held by sentences if and only if the \gls{complete truth table} for those sentences contains one line on which all the sentences are true, i.e., if some \gls{valuation} makes all the sentences true}
}

De forma derivada, sentenças são \define{conjuntamente insast\'ifaveis} se não há nenhuma valoração que as faz todas verdadeiras. Novamente, é fácil fazer um teste para satisfatibilidade conjunta usando tabelas de verdade.
%Derivatively, sentences are \define{jointly unsatisfiable} if there is no valuation that makes them all true. Again, it is easy to test for joint satisfiability using truth tables. 

\section{Acarretamento e validade}
A seguinte idea é intimamente relacionada àquela de satisfatibilidade conjunta:%The following idea is closely related to that of joint satisfiability:
	\factoidbox{
		As sentenças  $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ \define{acarretam} (em LVF) a sentença $\meta{C}$ se não existir uma valoração das letras sentenciais que torne todas as sentenças  $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ verdadeiras e $\meta{C}$ falsa. % $ The sentences \meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ \define{entail} (in TFL) the sentence $\meta{C}$ if there is no valuation of the sentence letters which makes all of $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ true and $\meta{C}$ false.
	}
       \newglossaryentry{valid in TFL}
{
  name= validity of arguments (in TFL),
  text = valid,
description={A property held by arguments if and only if the \gls{complete truth table} for the argument contains no rows where the \glspl{premise} are all true and the \gls{conclusion} false, i.e., if no \gls{valuation} makes all premises true and the conclusion false}
}
%

Novamente, é fácil fazer um teste para isto com uma tabela de verdade. Para checar se  `$\enot L \eif (J \eor L)$' e `$\enot L$' acarretam `$J$', basta simplesmente checar se há alguma valoração que faça ambos `$\enot L \eif (J \eor L)$' e `$\enot L$' verdadeiras, enquanto faça `$J$' falsa. Desse modo, usamos a tabela de verdade:

%Again, it is easy to test this with a truth table. Let us check whether `$\enot L \eif (J \eor L)$' and `$\enot L$' entail `$J$', we simply need to check whether there is any valuation which makes both `$\enot L \eif (J \eor L)$' and `$\enot L$' true whilst making `$J$' false. So we use a truth table: 
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e f|d f| c}
$J$&$L$&\enot&$L$&\eif&$(J$&\eor&$L)$&\enot&$L$&$J$\\
\hline
%J   L   -   L      ->     (J   v   L)
 V & V & F & V& \TTbf{V} & V & V & V & \TTbf{F} & V & \TTbf{V}\\
 V & F & V & F & \TTbf{V} & V & V & F & \TTbf{V} & F & \TTbf{V}\\
 F & V & F & V & \TTbf{V} & F & V & V & \TTbf{F} & V & \TTbf{F}\\
 F & F & V & F & \TTbf{F} & F & F & F & \TTbf{V} & F & \TTbf{F}
\end{tabular}
\end{center}
A única linha na qual ambas  `$\enot L \eif (J \eor L)$' e `$\enot L$' são verdadeiras é a segunda linha. Mas, nesta linha, `$J$' também é verdadeira. Assim, `$\enot L \eif (J \eor L)$' e `$\enot L$' acarretam `$J$'.
%The only row on which both`$\enot L \eif (J \eor L)$' and `$\enot L$' are true is the second row, and that is a row on which `$J$' is also true. So `$\enot L \eif (J \eor L)$' and `$\enot L$' entail `$J$'.

Fazemos agora uma observação importante:%We now make an important observation:
	\factoidbox{
		Se $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ acarretam $\meta{C}$ em LVF, então $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n \therefore \meta{C}$ é válido. %If $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ entail $\meta{C}$, in TFL then $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n \therefore \meta{C}$ is valid.
	}
%Here's why. If $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ entail $\meta{C}$, then there is no valuation which makes all of $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ true and also makes $\meta{C}$ false. Any case in which all of $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ are true and $\meta{C}$ is false would generate a valuation with this property: take the truth value of any sentence letter to be just the truth value the corresponding sentence in that case. Since there is no such valuation, there is no case in which all of $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ are true and $\meta{C}$ is false.  But this is just what it takes for an argument, with premises $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ and conclusion $\meta{C}$, to be valid!
Aqui está o motivo. Se $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ acarretam $\meta{C}$, então não há valoração que faça todas [sentenças] $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ verdadeiras e também faça $\meta{C}$ falsa. Qualquer caso no qual todas [as sentenças] $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ são verdadeiras e $\meta{C}$ é falsa geraria uma valoração com esta propriedade: tome o valor de verdade de qualquer letra sentencial como sendo apenas o valor de verdade da sentença correspondente nesse caso. Uma vez que não há tal valoração, não há caso no qual todas [sentenças] $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ são verdadeiras e $\meta{C}$ é falsa. Mas isto é justamente o que faz com que um argumento com premissas $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ e conclusão $\meta{C}$ seja válido.

Resumindo, temos uma maneira de testar a validade de argumentos do Português. Em primeiro lugar, os argumentos são simbolizados em LVF, tendo premissas  $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$ e conclusão  $\meta{C}$. Então testamos acarretamento em LVF, usando tabelas de verdade.

%In short, we have a way to test for the validity of English arguments. First, we symbolize them in TFL, as having premises $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n$, and conclusion $\meta{C}$. Then we test for entailment in TFL using truth tables. 


\section{Os limites destes teste}\label{s:ParadoxesOfMaterialConditional}
Atingimos um marco importante: um teste para validade de argumentos! Contudo, não deveríamos ficar tão entusiasmados ainda.  É importante entender os \emph{limites} de nossa conquista. Ilustraremos estes limites com três exemplos.

%We have reached an important milestone: a test for the validity of arguments! However, we should not get carried away just yet. It is important to understand the \emph{limits} of our achievement. We will illustrate these limits with three examples.

Em primeiro lugar, considere o argumento:%First, consider the argument: 
	\begin{earg}
		\item Daisy tem quatro pernas. Portanto, Daisy tem mais de duas pernas.%has four legs. So Daisy has more than two legs.
	\end{earg}
%
Para simbolizar este argumento em LVF, teríamos de usar duas letras sentenciais diferentes --- talvez `$F$'  e `$T$' --- para premissa e conclusão, respectivamente. Agora, é óbvio que `$F$' não acarreta `$T$'. O argumento do Português parece seguramente válido, não obstante!
%	
%To symbolize this argument in TFL, we would have to use two different sentence letters---perhaps `$F$'  and `$T$'---for the premise and the conclusion respectively. Now, it is obvious that `$F$' does not entail `$T$'. The English argument surely seems valid, though!

Em segundo lugar, considere a sentença:%Second, consider the sentence:
	\begin{earg}
\setcounter{eargnum}{1}
		\item\label{n:JanBald} Jan é nem calvo nem não-calvo.%Jan is neither bald nor not-bald.
	\end{earg}
%
Para simbolizar esta sentença em LVF, ofereceríamos algo como `$\enot J \eand \enot \enot J$'. Isto é uma contradição (cheque isto com uma tabela de verdade), mas a sentença \ref{n:JanBald} não se parece com uma contradição; pois, poderíamos alegramente ter adicionado `Jan está na fronteira da calvície'!
%
%To symbolize this sentence in TFL, we would offer something like `$\enot J \eand \enot \enot J$'. This a contradiction (check this with a truth-table), but sentence \ref{n:JanBald} does not itself seem like a contradiction; for we might have happily go on to add `Jan is on the borderline of baldness'!

Em terceiro lugar, considere a seguinte sentença:%Third, consider the following sentence:
	\begin{earg}
\setcounter{eargnum}{2}	
		\item\label{n:GodParadox}	Não é o caso que se Deus existe, ele responde a orações malévolas %It's not the case that, if God exists, She answers malevolent prayers.
%	Aaliyah wants to kill Zebedee. She knows that, if she puts chemical A into Zebedee's water bottle, Zebedee will drink the contaminated water and die. Equally, Bathsehba wants to kill Zebedee. She knows that, if she puts chemical B into Zebedee's water bottle, then Zebedee will drink the contaminated water and die. But chemicals A and B neutralize each other; so that if both are added to the water bottle, then Zebedee will not die.
	\end{earg}
	%Symbolizing this in TFL, we would offer something like `$\enot (G \eif M)$'. Now, `$\enot (G \eif M)$' entails `$G$' (again, check this with a truth table). So if we symbolize sentence \ref{n:GodParadox} in TFL, it seems to entail that God exists. But that's strange: surely even an atheist can accept sentence \ref{n:GodParadox}, without contradicting herself!
Simbolizando isto em LVF, ofereceríamos algo como `$\enot (G \eif M)$'. Ora, `$\enot (G \eif M)$' acarreta `$G$' (novamente, cheque isto com tabela de verdade). Assim, se simbolizarmos a sentença \ref{n:GodParadox} em LVF, ela parece implicar que Deus existe. Mas isto é estranho: certamente, até mesmo um ateu pode aceitar a sentença \ref{n:GodParadox} sem se contradizer.

%
Uma lição disto é que a simbolização de \ref{n:GodParadox} como `$\enot(G \eif M)$' mostra que V não expressa o que temos em mente. Talvez deveríamos parafraseá-la como
%  One lesson of this is that the symbolization of \ref{n:GodParadox} as `$\enot(G \eif M)$' shows that \ref{n:GodParadox} does not express what we intend. Perhaps we should rephrase it as
        	\begin{earg}
                  \setcounter{eargnum}{2}	
                \item\label{n:GodParadox2} Se Deus existe, ele não responde a orações malévolas%If God exists, She does not answer malevolent prayers.
  \end{earg}
%and symbolize \ref{n:GodParadox2} as `$G \eif \enot M$'.  Now, if atheists are right, and there is no God, then `$G$' is false and so `$G \eif \enot M$' is true, and the puzzle disappears. However, if `$G$' is false, `$G \eif M$', i.e.\ `If God exists, She answers malevolent prayers', is \emph{also} true!
e simbolizar \ref{n:GodParadox2} como `$G \eif \enot M$'. Agora, se os ateus estiverem corretos e não há Deus, então `$G$'  é falsa e, assim, `$G \eif \enot M$' é verdadeira e o quebra-cabeça desaparece. Todavia, se `$G$' é falsa, então `$G \eif M$', ou seja, `Se Deus existe, ele responde a orações malévolas' é \emph{também} verdadeira!
% In different ways, these four examples highlight some of the limits of working with a language (like TFL) that can \emph{only} handle truth-functional connectives.  Moreover, these limits give rise to some interesting questions in philosophical logic. The case of Jan's baldness (or otherwise) raises the general question of what logic we should use when dealing with \emph{vague} discourse. The case of the atheist raises the question of how to deal with the (so-called) \emph{paradoxes of the material conditional}. Part of the purpose of this course is to equip you with the tools to explore these questions of \emph{philosophical logic}.  But we have to walk before we can run; we have to become proficient in using TFL, before we can adequately discuss its limits, and consider alternatives. 
%

De formas distintas, estes três exemplos realçam alguns dos limites de se trabalhar com uma linguagem (como LVF) que pode \emph{somente} lidar com conectivos verofuncionais. Além disso, estes limites dão origem a algumas questões interessantes em lógica filosófica. O caso da calvície de Jan (ou não) levanta a questão geral de qual lógica deveríamos usar quando lidamos com discurso \emph{vago}. O caso do ateu levanta a questão de como lidar com (os então chamados) \emph{paradoxos do condicional material}. Parte do propósito deste curso é lhe dar as ferramentas necessárias para explorar estas questões da \emph{lógica filosófica}. Mas temos que andar, antes de podermos correr. Temos de nos tornar proficientes no uso de LVF, antes de podermos discutir adequadamente seus limites e considerar alternativas.
                

\section{A dupla catraca}
%
Iremos usar a noção de acarretamento muitas vezes neste livro. Ajudar-nos-á, então, introduzir um símbolo que a abrevie. Em vez de dizer que as sentenças de LVF $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots$ and $\meta{A}_n$ juntas acarretam $\meta{C}$, abreviaremos isto por:

%We are going to use the notion of entailment rather a lot in this book. It will help us, then, to introduce a symbol that abbreviates it. Rather than saying that the TFL sentences $\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots$ and $\meta{A}_n$ together entail $\meta{C}$, we will abbreviate this by:
	$$\meta{A}_1, \meta{A}_2, \ldots, \meta{A}_n \entails \meta{C}$$
O símbolo 	`$\entails$' é conhecido por \emph{dupla catraca}, uma vez que se parece com uma catraca com duas barras horizontais.
%The symbol `$\entails$' is known as \emph{the double turnstile}, since it looks like a turnstile with two horizontal beams.
%

Vamos esclarecer o seguinte: `$\entails$' não é um símbolo de LVF. Em vez disso, é um símbolo de nossa metalinguagem, Português estendido (lembre-se da diferença entre linguagem objeto e metalinguagem mencionada em \S\ref{s:UseMention}). Assim, a sentença metalinguística:
%
%Let's' be clear. `$\entails$' is not a symbol of TFL. Rather, it is a symbol of our metalanguage, augmented English (recall the difference between object language and metalanguage from \S\ref{s:UseMention}). So the metalanguage sentence:
	\begin{ebullet}
		\item $P, P \eif Q \entails Q$
	\end{ebullet}
é somente uma abreviação para a sentença do Português:%is just an abbreviation for the English sentence: 
	\begin{ebullet}
		\item As sentenças de LVF `$P$' e `$P \eif Q$' acarretam `$Q$' %The TFL sentences `$P$' and `$P \eif Q$' entail `$Q$'
	\end{ebullet}
%
Note que não há limite no números de sentenças de LVF que podem ser mencionadas antes do símbolo `$\entails$'. De fato, podemos até mesmo considerar o caso limite:
%Note that there is no limit on the number of TFL sentences that can be mentioned before the symbol `$\entails$'. Indeed, we can even consider the limiting case:
	$$\entails \meta{C}$$
%This says that there is no valuation which makes all the sentences mentioned on the left hand side of `$\entails$' true whilst making $\meta{C}$ false.  Since \emph{no} sentences are mentioned on the left hand side of `$\entails$' in this case, this just means that there is no valuation which makes $\meta{C}$ false.
Isto diz que não há valoração que faça todas as sentenças mencionadas à esquerda de `$\entails$' verdadeiras, enquanto faça $\meta{C}$ falsa. Uma vez que nenhuma sentença é mencionada à esquerda de `$\entails$' neste caso, isto significa justamente que não há valoração que faça $\meta{C}$ falsa. Dizendo de outra forma, é dito que qualquer valoração faz $\meta{C}$ verdadeiro. Ainda falando de outra forma, significa que $\meta{C}$ é uma tautologia. Similarmente:

 Otherwise put, it says that every valuation makes $\meta{C}$ true. Otherwise put, it says that $\meta{C}$ is a tautology. Equally:
	$$\meta{A} \entails$$
diz que  $\meta{A}$ é uma contradição.%says that $\meta{A}$ is a contradiction.

\section{`$\entails$' versus `$\eif$'}
Queremos comparar e constratar `$\entails$' e `$\eif$'. %We now want to compare and contrast `$\entails$' and `$\eif$'. 

Observação: $\meta{A} \entails \meta{C}$ sse não há valoração das letras sentenciais que faça $\meta{A}$ verdadeira e $\meta{C}$ falsa. %iff there is no valuation of the sentence letters that makes $\meta{A}$ true and $\meta{C}$ false. 

Observação: $\meta{A} \eif \meta{C}$ é uma tautologia sse não existe valoração das letras sentenciais que faça  $\meta{A} \eif \meta{C}$ falsa. Uma vez que o condicional é verdadeiro exceto quando seu antecedente é verdaeiro e seu consequente, falso,  $\meta{A} \eif \meta{C}$ é uma tautologia sse não há valoração que faça $\meta{A}$ verdadeira e    $\meta{C}$ falsa. %is a tautology iff there is no valuation of the sentence letters that makes $\meta{A} \eif \meta{C}$ false. Since a conditional is true except when its antecedent is true and its consequent false, $\meta{A} \eif \meta{C}$ is a tautology iff there is no valuation that makes $\meta{A}$ true and $\meta{C}$ false. 
%
Combinando estas duas observações, vemos que $\meta{A} \eif \meta{C}$ é uma tautologia sse $\meta{A} \entails \meta{C}$. Mas há, de fato, uma importante diferença entre `$\entails$' e `$\eif$':
%
%Combining these two observations, we see that $\meta{A} \eif \meta{C}$  is a tautology iff  $\meta{A} \entails \meta{C}$. But there is a really, really important difference between `$\entails$' and `$\eif$':
	\factoidbox{
	$\eif$'  é um conectivo sentencial de LVF.\\ `$\entails$' é um símbolo do Português estendido.%`$\eif$' is a sentential connective of TFL.\\ `$\entails$' is a symbol of augmented English.
	}
%

De fato, quando 	`$\eif$' é colocado entre duas sentenças de LVF, o resultado é uma sentença de LVF mais longa. Por outro lado, quando usamos `$\entails$', formamos uma sentença metalinguística que \emph{menciona} sentenças de LVF.
	
%Indeed, when `$\eif$' is flanked with two TFL sentences, the result is a longer TFL sentence. By contrast, when we use `$\entails$', we form a metalinguistic sentence that \emph{mentions} the surrounding TFL sentences. 


\practiceproblems
\problempart
Volte para suas respostas aos exercícios em \S\ref{s:CompleteTruthTables}\textbf{A}. Determine quais eram tautologias, quais eram contradições e quais eram nem tautologias nem contradições. 
%Revisit your answers to \S\ref{s:CompleteTruthTables}\textbf{A}. Determine which sentences were tautologies, which were contradictions, and which were neither tautologies nor contradictions.
\solutions

\

\problempart
\label{pr.TT.satisfiable}
Use tabelas de verdade para determinar se estas sentenças são conjuntamente satisfatíveis ou são conjuntamente insatisfatíveis:%Use truth tables to determine whether these sentences are jointly satisfiable, or jointly unsatisfiable:
\begin{earg}
\item $A\eif A$, $\enot A \eif \enot A$, $A\eand A$, $A\eor A$ %satisfiable
\item $A\eor B$, $A\eif C$, $B\eif C$ %satisfiable
\item $B\eand(C\eor A)$, $A\eif B$, $\enot(B\eor C)$  %unsatisfiable
\item $A\eiff(B\eor C)$, $C\eif \enot A$, $A\eif \enot B$ %satisfiable
\end{earg}


\solutions
\problempart
\label{pr.TT.valid}
Use tabelas de verdade para determinar se cada argumento é válido ou inválido.%Use truth tables to determine whether each argument is valid or invalid.
\begin{earg}
\item $A\eif A \therefore A$ %invalid
\item $A\eif(A\eand\enot A) \therefore \enot A$ %valid
\item $A\eor(B\eif A) \therefore \enot A \eif \enot B$ %valid
\item $A\eor B, B\eor C, \enot A \therefore B \eand C$ %invalid
\item $(B\eand A)\eif C, (C\eand A)\eif B \therefore (C\eand B)\eif A$ %invalid
\end{earg}

\problempart Determine se cada sentença é uma tautologia, uma contradição ou uma sentença contingente, usando tabela de verdade completa.%Determine whether each sentence is a tautology, a contradiction, or a contingent sentence, using a complete truth table.
\begin{earg}
\item $\enot B \eand B$ \vspace{.5ex}%contra


\item $\enot D \eor D$ \vspace{.5ex}%taut


\item $(A\eand B) \eor (B\eand A)$\vspace{.5ex} %contingent


\item $\enot[A \eif (B \eif A)]$\vspace{.5ex} %contra


\item $A \eiff [A \eif (B \eand \enot B)]$ \vspace{.5ex}%contra


\item $[(A \eand B) \eiff B] \eif (A \eif B)$ \vspace{.5ex}% contingent. 

\end{earg}



\noindent\problempart
\label{pr.TT.equiv}
Determine se cada uma das sentenças seguintes  são logicamente equivalentes, usando tabela de verdade completas. Se duas sentenças forem logicamente ``equivalentes'', escreva equivalente. Caso contrário, escreva ``não equivalentes'' 
%Determine whether each the following sentences are logically equivalent using complete truth tables. If the two sentences really are logically equivalent, write ``equivalent.'' Otherwise write, ``Not equivalent.'' 
\begin{earg}
\item $A$ and $\enot A$
\item $A \eand \enot A$ and $\enot B \eiff B$
\item $[(A \eor B) \eor C]$ and $[A \eor (B \eor C)]$
\item $A \eor (B \eand C)$ and $(A \eor B) \eand (A \eor C)$
\item $[A \eand (A \eor B)] \eif B$ and $A \eif B$\end{earg}


\problempart
\label{pr.TT.equiv2}
Determine se cada uma das sentenças seguintes  são logicamente equivalentes, usando tabela de verdade completas. Se duas sentenças forem logicamente ``equivalentes'', escreva equivalente. Caso contrário, escreva ``não equivalentes'' 
%Determine whether each the following sentences are logically equivalent using complete truth tables. If the two sentences really are equivalent, write ``equivalent.'' Otherwise write, ``not equivalent.''
\begin{earg}
\item $A\eif A$ and $A \eiff A$
\item $\enot(A \eif B)$ and $\enot A \eif \enot B$
\item $A \eor B$ and $\enot A \eif B$
\item$(A \eif B) \eif C$ and $A \eif (B \eif C)$
\item $A \eiff (B \eiff C)$ and $A \eand (B \eand C)$
\end{earg}


\problempart
\label{pr.TT.satisfiable2}
Determine se cada coleção de sentenças é conjuntamente satisfatíveis ou conjuntamente insatisfatíveis, usando tabela de verdade completa.
%Determine whether each collection of sentences is jointly satisfiable or jointly unsatisfiable using a complete truth table. 
\begin{earg}
\item $A \eand \enot B$, $\enot(A \eif B)$, $B \eif A$\vspace{.5ex} %Consistent

%\begin{tabular}{ccccccccccccccc} 
%1. 	&	A 					 & \eand 		&  \enot & B & & \enot  		& 	 (A	  & 	 \eif	 	 & 	 B)		 & 	 & 	 B	 	 & 	\eif 	 	 & 	A 	 	 & 	 Consistent \\ 
%\cline{2-5} \cline{7-10}\cline{12-14} 
%	& 	T 					 & 	 F	 		&  F	 & T & & F	 		& 	 T	  & 	 T	 	 & 	T 	 	 & 	 & 	 T	 	 & 	 T	 	 & T	 	 	&	  \\ 
%\cline{2-14}
%	& \multicolumn{1}{|r}{T}& 	\textbf{T}	 & T	 & F & & \textbf{T}	 & 	 T	 & 	 F	 	 & 	 F	 	 & 	 & 	 F	 	 & 	 \textbf{T}	 	 & 	 \multicolumn{1}{r|}{T}	 	 & 	  \\ 
%\cline{2-14}
%	& 	 F	 				 & 	 F	 & 	 F	 & T & 	& 	 F	 & 	 F	 & 	 T	 	 & 	 T	 	 & 	  & 	 T	 	 & 	 F	 	 & 	 F	 	 & 	  \\ 
%	& 	 F	  				& 	 F	 & 	 T	 & 	F&  & 	 F	 & 	 F	 & 	 T	 	 & 	 F	 	 & 	  & 	 F	 	 & 	 T	 	 & 	 F	 	 & 	  \\ 
%\end{tabular}

\item $A \eor B$, $A \eif \enot A$, $B \eif \enot B$ \vspace{.5ex}%unsatisfiable. 

%\begin{tabular}{ccccccccccccccc} 
%2. &A	 & \eor 	 & B 	 & 	 	 & A 	 & \eif 	 & 	\enot & A 	 & 	 	 & B 	 & \eif 	 & \enot	 & 	B 	 & 	Insatisfiable \\ 
%\cline{2-4}\cline{6- 9} \cline{11-14}
%   &	T	 & 	 T	 &T  	 & 	 	 & T	 & 	 F	 & 	F 	 & T 	 & 	 	 & 	T 	 & 	F 	 & 	 F	 & 	T 	 & 	 \\ 
%   &	 T	& 	 T	 & F 	 & 	 	 & 	T 	 & 	 F	 & 	 F	 & 	 T	 & 	 	 & 	F 	 & 	 T	 & 	 T	 & 	 F	 & 	 \\ 
%   &	 F	& 	 T	 & 	 T	 & 	 	 & 	F 	 & 	 T	 & 	 T	 & 	F 	 & 	 	 & 	 T	 & 	 F	 & 	 F	 & 	 T	 & 	 \\ 
%   &	 F	& 	 F	 & 	 F	 & 	 	 & 	 F	 & 	 T	 & 	 T	 & 	 F	 & 	 	 & 	 F	 & 	 T	 & 	 T	 & 	 F	 & 	 \\ 
%\end{tabular}

\item $\enot(\enot A \eor B) $, $A \eif \enot C$, $A \eif (B \eif C)$\vspace{.5ex} %Insatisfiable

%3. &\enot & (\enot & A & \eor &B) &  &A  & \eif 	 &\enot 	 &C & 	 & A &\eif 	& (B 	 &\eif 	& C)	 &Consistent \\ 
%\cline{2-6}\cline{8-11} \cline{13-17} 
%   &	F 	& 	F	 & 	T & T	 & T & 	  & T & F	 & 	 F&T 	 & 	 &T & T	 & T	 &T 	 &T 	 & \\ 
%   &	 F	& 	F	 & 	T & T	 & T & 	  & T & T	 & 	 T& F	 & 	 &T & F	 & T	 & F	 &F 	 & \\ 
% 
%  &	 T & 	F 	& 	T & F	 & F & 	  & T & F	 & 	 F& T	 & 	 &T & T	 & F	 & T	 &T 	 & \\ 
%\cline{2-17}
%   &	 \multicolumn{1}{|r}{{\color{red}T}}		&  F	 & 	T & F	 & 	F &  & 	T & {\color{red}T}	 & 	 T&F 	& 	 &T & {\color{red}T}	 & F	 & T	 &\multicolumn{1}{r|}{F} 	 & \\ 
%\cline{2-17}
%   &	 F	& 	T	 & 	F & T	 & 	T &  & 	F & T	 & 	 F& T	 & 	 &F	 & F	 & T	 & T	 &T 	 & \\ 
%   &	 F	& 	 T	& 	F & T	 & 	T &  & 	F & T	 & 	T & F 	& 	 &F	 & T	 & T	 &F 	 &F 	 & \\ 
%   &	 F	& 	 T	& 	F & T	 & 	F &  & 	F & T	 & 	F & T	 & 	 &F	 & T	 & F	 & T	 &T 	 & \\ 
%   &	 F	& 	 T	& 	F & T	 & 	F &  & 	F & T	 & 	T & F	 & 	 &F	 & T	 & F	 & T	 &F 	 & \\ 
%\end{tabular}
%


\item $A \eif B$, $A \eand \enot B$\vspace{.5ex} %Insatisfiable

\item $A \eif (B \eif C)$, $(A \eif B) \eif C$, $A \eif C$\vspace{.5ex} % satisfiable. 

\end{earg}

\noindent\problempart
\label{pr.TT.satisfiable3}
Determine se cada coleção de sentenças é conjuntamente satisfatíveis ou conjuntamente insatisfatíveis, usando tabela de verdade completa.
%Determine whether each collection of sentences is jointly satisfiable or jointly unsatisfiable, using a complete truth table. 
\begin{earg}
\item $\enot B$, $A \eif B$, $A$ \vspace{.5ex}%unsatisfiable.
\item $\enot(A \eor B)$, $A \eiff B$, $B \eif A$\vspace{.5ex} %Consistent
\item $A \eor B$, $\enot B$, $\enot B \eif \enot A$\vspace{.5ex} %Insatisfiable
\item $A \eiff B$, $\enot B \eor \enot A$, $A \eif B$\vspace{.5ex} %satisfiable. 
\item $(A \eor B) \eor C$, $\enot A \eor \enot B$, $\enot C \eor \enot B$\vspace{.5ex} %satisfiable
\end{earg}




\noindent\problempart
\label{pr.TT.valid2}
Determine se cada argumento é válido ou inválido, usando tabela de verdade completa.
%Determine whether each argument is valid or invalid, using a complete truth table. 
\begin{earg}
\item $A\eif B$, $B \therefore  A$ %invalid

\item $A\eiff B$, $B\eiff C \therefore A\eiff C$ %valid

\item $A \eif B$, $A \eif C\therefore B \eif C$ %invalid. 

\item $A \eif B$, $B \eif A\therefore A \eiff B$ %valid. 

\end{earg}

\noindent\problempart
\label{pr.TT.valid3}
Determine se cada argumento é válido ou inválido, usando tabela de verdade completa.
%Determine whether each argument is valid or invalid, using a complete truth table. 
\begin{earg}
\item $A\eor\bigl[A\eif(A\eiff A)\bigr] \therefore  A $\vspace{.5ex}%invalid
\item $A\eor B$, $B\eor C$, $\enot B \therefore A \eand C$\vspace{.5ex} %valid
\item $A \eif B$, $\enot A\therefore \enot B$ \vspace{.5ex}%invalid
\item $A$, $B\therefore \enot(A\eif \enot B)$ \vspace{.5ex}%valid
\item $\enot(A \eand B)$, $A \eor B$, $A \eiff B\therefore C$ \vspace{.5ex}%valid 
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.concepts}
Responda cada uma das questões abaixo e justifique sua resposta.
%Answer each of the questions below and justify your answer.
\begin{earg}
\item Suponha que \meta{A} e \meta{B} são logicamente equivalentes. O que podemos dizer sobre  $\meta{A}\eiff\meta{B}$?%Suppose that \meta{A} and \meta{B} are logically equivalent. What can you say about $\meta{A}\eiff\meta{B}$?
%\meta{A} and \meta{B} have the same truth value on every line of a complete truth table, so $\meta{A}\eiff\meta{B}$ is true on every line. It is a tautology.
\item Suponha que $(\meta{A}\eand\meta{B})\eif\meta{C}$ é nem tautologia nem contradição. $\meta{A}, \meta{B} \therefore\meta{C}$ é válido?%Suppose that $(\meta{A}\eand\meta{B})\eif\meta{C}$ is neither a tautology nor a contradiction. What can you say about whether $\meta{A}, \meta{B} \therefore\meta{C}$ is valid?
%The sentence is false on some line of a complete truth table. On that line, \meta{A} and \meta{B} are true and \meta{C} is false. So the argument is invalid.
\item Suponha que $\meta{A}$, $\meta{B}$ e $\meta{C}$ são conjuntamente insatisfatíveis. O que podemos dizer sobre $(\meta{A}\eand\meta{B}\eand\meta{C})$?%Suppose that $\meta{A}$, $\meta{B}$ and $\meta{C}$  are jointly unsatisfiable. What can you say about $(\meta{A}\eand\meta{B}\eand\meta{C})$?
\item Suponha que \meta{A} é uma contradição. O que podemos dizer sobre se $\meta{A}, \meta{B} \entails \meta{C}$?%Suppose that \meta{A} is a contradiction. What can you say about whether $\meta{A}, \meta{B} \entails \meta{C}$?
%Since \meta{A} is false on every line of a complete truth table, there is no line on which \meta{A} and \meta{B} are true and \meta{C} is false. So the argument is valid.
\item Suponha que  \meta{C} é uma tautologia. O que podemos dizer sobre se $\meta{A}, \meta{B}\entails \meta{C}$?%Suppose that \meta{C} is a tautology. What can you say about whether $\meta{A}, \meta{B}\entails \meta{C}$?
%Since \meta{C} is true on every line of a complete truth table, there is no line on which \meta{A} and \meta{B} are true and \meta{C} is false. So the argument is valid.
\item Suponha que \meta{A} e \meta{B} são logicamente equivalentes. O que podemos dizer sobre $(\meta{A}\eor\meta{B})$?%Suppose that \meta{A} and \meta{B} are logically equivalent. What can you say about $(\meta{A}\eor\meta{B})$?
%Not much. $(\meta{A}\eor\meta{B})$ is a tautology if \meta{A} and \meta{B} are tautologies; it is a contradiction if they are contradictions; it is contingent if they are contingent.
\item Suponha que \meta{A} e \meta{B} \emph{não} são logicamente equivalentes. O que podemos dizer sobre $(\meta{A}\eor\meta{B})$?%Suppose that \meta{A} and \meta{B} are \emph{not} logically equivalent. What can you say about $(\meta{A}\eor\meta{B})$?
%\meta{A} and \meta{B} have different truth values on at least one line of a complete truth table, and $(\meta{A}\eor\meta{B})$ will be true on that line. On other lines, it might be true or false. So $(\meta{A}\eor\meta{B})$ is either a tautology or it is contingent; it is \emph{not} a contradiction.
\end{earg}
\problempart 
Considere o seguinte princípio:%Consider the following principle:
	\begin{ebullet}
		\item Suponha que $\meta{A}$ e $\meta{B}$ são logicamente equivalentes. Suponha que um argumento contém $\meta{A}$ (ou como premissa ou como conclusão). A validade do argumento não seria afetada, se substituíssemos $\meta{A}$ por $\meta{B}$.%Suppose $\meta{A}$ and $\meta{B}$ are logically equivalent. Suppose an argument contains $\meta{A}$ (either as a premise, or as the conclusion). The validity of the argument would be unaffected, if we replaced $\meta{A}$ with $\meta{B}$.
	\end{ebullet}
Este princípio é correto? Explique sua resposta.%Is this principle correct? Explain your answer.



\chapter{Atalhos na tabela de verdade}%Truth table shortcuts
Com a prática, rapidamente você torna-se-á  apto a preencher as tabelas de verdade. Neste capítulo, queremos apresentar atalhos permitidos que o ajudrão ao longo do percurso.
%With practice, you will quickly become adept at filling out truth tables. In this section, we want to give you some permissible shortcuts to help you along the way. 

\section{Trabalhando com tabelas de verdade}%Working through truth tables
Vovê descobrirá rapidamente que você não precisa copiar os valores de verdade de cada sentença, mas pode simplesmente se referir a eles [\emph{but can simply refer back to them.}]. Assim, podemos acelerar as coisas escrevendo:
%You will quickly find that you do not need to copy the truth value of each sentence letter, but can simply refer back to them. So you can speed things up by writing:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e f}
$P$&$Q$&$(P$&\eor&$Q)$&\eiff&\enot&$P$\\
\hline
 V & V &  & V &  & \TTbf{F} & F\\
 V & F &  & V &  & \TTbf{F} & F\\
 F & V &  & V & & \TTbf{V} & V\\
 F & F &  & F &  & \TTbf{F} & V
\end{tabular}
\end{center}
%You also know for sure that a disjunction is true whenever one of the disjuncts is true. So if you find a true disjunct, there is no need to work out the truth values of the other disjuncts. Thus you might offer:
Certamente, você sabe também que a disjunção é verdadeira, sempre que um dos disjuntos é verdadeiro. Assim, se você encontra um disjunto verdadeiro, não há necessidade de considerar os valores de verdade dos outros disjuntos. Assim, você poderia oferecer:
%
%
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e e e f}
$P$&$Q$& $(\enot$ & $P$&\eor&\enot&$Q)$&\eor&\enot&$P$\\
\hline
 V & V & F & & F & F& & \TTbf{F} & F\\
 V & F &  F & & V& V& &  \TTbf{V} & F\\
 F & V & & &  & & & \TTbf{V} & V\\
 F & F & & & & & &\TTbf{V} & V
\end{tabular}
\end{center}
%Equally, you know for sure that a conjunction is false whenever one of the conjuncts is false. So if you find a false conjunct, there is no need to work out the truth value of the other conjunct. Thus you might offer:
Similarmente, com certeza, sabemos que uma conjunção é falsa, sempre que um dos conjunctos é falso. Desse modo, se você encontra um conjuncto falso, não há necessidade de considerar o valor de verdade dos outros conjunctos.
%
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e e e f}
$P$&$Q$&\enot &$(P$&\eand&\enot&$Q)$&\eand&\enot&$P$\\
\hline
 V & V &  &  & &  & & \TTbf{F} & F\\
 V & F &   &  &&  & & \TTbf{F} & F\\
 F & V & V &  & F &  & & \TTbf{V} & V\\
 F & F & V &  & F & & & \TTbf{V} & V
\end{tabular}
\end{center}
%A similar short cut is available for conditionals. You immediately know that a conditional is true if either its consequent is true, or its antecedent is false. Thus you might present:
Um atalho similar está disponível para condicionais. Você sabe imediatamente que um condicional é verdadeiro se o consequente é verdadeiro ou o antecedente é falso. Desse modo, poderíamos apresentar:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e e f}
$P$&$Q$& $((P$&\eif&$Q$)&\eif&$P)$&\eif&$P$\\
\hline
 V & V & &  & & & & \TTbf{V} & \\
 V & F &  &  & && & \TTbf{V} & \\
 F & V & & V & & F & & \TTbf{V} & \\
 F & F & & V & & F & &\TTbf{V} & 
\end{tabular}
\end{center}
Logo, `$((P \eif Q) \eif P) \eif P$' é uma tautologia. De fato, é uma instância da \emph{Lei de Peirce}, nomeada assim por causa de Charles Sanders Peirce.
%So `$((P \eif Q) \eif P) \eif P$' is a tautology. In fact, it is an instance of \emph{Peirce's Law}, named after Charles Sanders Peirce.
%
\section{Teste para validade e acarretamento}%Testing for validity and entailment
%When we use truth tables to test for validity or entailment, we are checking for \emph{bad} lines: lines where the premises are all true and the conclusion is false. Note:
Quando usamos tabelas de verdade para testar validade e acarretamento, estamos checando as linhas \emph{ruins}: as linhas onde as premissas são todas verdadeiras e a conclusão falsa. Note:
	\begin{earg}
		\item[\textbullet] Qualquer linha onde a conclusão é verdadeira não é uma linha ruim.%Any line where the conclusion is true is not a bad line. 
		\item[\textbullet] Qualquer linha onde alguma premissa é falsa não é uma linha ruim.%Any line where some premise is false is not a bad line. 
	\end{earg}
%Since \emph{all} we are doing is looking for bad lines, we should bear this in mind. So: if we find a line where the conclusion is true, we do not need to evaluate anything else on that line: that line definitely isn't bad.   Likewise, if we find a line where some premise is false, we do not need to evaluate anything else on that line. 
Uma vez que \emph{tudo} que estamos fazendo é procurar pelas linhas ruins, deveríamos ter em mente o seguinte: se você encontra uma linha ode a conclusão é verdadeira, não precisamos avaliar qualquer outra coisa nesta linha. Esta linha não é definitivamente ruim. Da mesma forma, se encontramos um linha onde alguma premissa é falsa, não precisamos avaliar qualquer outra coisa nesta linha. 
%With this in mind, consider how we might test the following for validity:

Com isto em mente, considere agora como poderíamos testar a validade do sehuinte argumento:
%The \emph{first} thing we should do is evaluate the conclusion. If we find that the conclusion is \emph{true} on some line, then that is not a bad line. 
	$$\enot L \eif (J \eor L), \enot L \therefore J$$
%So we can simply ignore the rest of the line. So at our first stage, we are left with something like:
A \emph{primeira} coisa que deveríamos fazer é avaliar a conclusão. Se encontramos que a conclusão é \emph{verdadeira} em alguma linha, então esta linha não é ruim. Desse modo, podemos simplesmente ignorar o resta da linha. Assim, em nosso primeiro estágio, temos algo parecido com:
%
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e f |d f|c}
$J$&$L$&\enot&$L$&\eif&$(J$&\eor&$L)$&\enot&$L$&$J$\\
\hline
%J   L   -   L      ->     (J   v   L)
 V & V & &&&&&&&& {V}\\
 V & F & &&&&&&&& {V}\\
 F & V & &&?&&&&?&& {F}\\
 F & F & &&?&&&&?&& {F}
\end{tabular}
\end{center}
%where the blanks indicate that we are not going to bother doing any more investigation (since the line is not bad) and the question-marks indicate that we need to keep investigating. 
onde os lugares em branco indicam que não precisamos se preocupar com mais investigações (uma vez que a linha não é ruim) e as interrogações indicam que precisamos continuar investigando.
%The easiest premise to evaluate is the second, so we next do that:

A premissa mais fácil de avaliar é a segunda, desse modo, a seguir, fazemos isto:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e f |d f|c}
$J$&$L$&\enot&$L$&\eif&$(J$&\eor&$L)$&\enot&$L$&$J$\\
\hline
%J   L   -   L      ->     (J   v   L)
 V & V & &&&&&&&& {V}\\
 V & F & &&&&&&&& {V}\\
 F & V & &&&&&&{F}&& {F}\\
 F & F & &&?&&&&{V}&& {F}
\end{tabular}
\end{center}
%Note that we no longer need to consider the third line of the table: it will not be a bad line, because (at least) one of premises is false on that line. Finally, we complete the truth table:
Perceba que não precisamos mais considerar a terceira linha da tabela: ela não será uma linha ruim, porque (pelo menos) uma das premissas é falsa nesta linha. Por fim, completamos a tabela de verdade:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c|d e e e e f |d f|c}
$J$&$L$&\enot&$L$&\eif&$(J$&\eor&$L)$&\enot&$L$&$J$\\
\hline
%J   L   -   L      ->     (J   v   L)
 V & V & &&&&&&&& {V}\\
 V & F & &&&&&&&& {V}\\
 F & V & &&&&&&{F}& & {F}\\
 F & F & V &  & \TTbf{F} &  & F & & {V} & & {F}
\end{tabular}
\end{center}
%The truth table has no bad lines, so the argument is valid. (Any valuation on which all the premises are true is a valuation on which the conclusion is true.)
A tabela de verdade não tem linhas ruins, portanto o argumento é válido (qualquer valoração em que as premissas são verdadeiras é uma valoração em que a conclusão é verdadeira).
%It might be worth illustrating the tactic again. Let us check whether the following argument is valid

Vale a pena ilustrar a tática novamente. Vamos checar se o seguinte argumento é válido
$$A\eor B, \enot (A\eand C), \enot (B \eand \enot D) \therefore (\enot C\eor D)$$
%At the first stage, we determine the truth value of the conclusion. Since this is a disjunction, it is true whenever either disjunct is true, so we can speed things along a bit. We can then ignore every line apart from the few lines where the conclusion is false.
No primeiro estágio, determinamos o valor de verdade da conclusão. Uma vez que ela é uma disjução, ela é verdadeira sempre que um dos disjuntos é verdadeiro, assim podemos acelerar um pouco as coisas. Podemos, então, ignorar qualquer linha, exceto aquelas poucos onde a conclusão é falsa. 
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c c c c | c|c|c|d e e f }
$A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $A\eor B$ & $\enot (A\eand C)$ & $\enot (B\eand \enot D)$ & $(\enot$ &$C$& $\eor$ & $D)$\\
\hline
V & V & V & V & & & & &  &  \TTbf{V} & \\
V & V & V & F & ? & ? & ? & F & &  \TTbf{F} & \\
V & V & F & V &  & &   & & &  \TTbf{V} & \\
V & V & F & F &  &  &   & V & &  \TTbf{V} &\\
V & F & V & V &  &  &  & & &  \TTbf{V} & \\
V & F & V & F & ? & ? & ?  & F &  &  \TTbf{F} &\\
V & F & F & V & & & & & & \TTbf{V} &\\
V & F & F & F & & & & V &  & \TTbf{V} & \\
F & V & V & V & & & & & & \TTbf{V} & \\
F & V & V & F & ? & ? & ? & F &  & \TTbf{F} &\\
F & V & F & V & & &  & & & \TTbf{V} & \\
F & V & F & F & & & &V & & \TTbf{V} & \\
F & F & V & V & & & & & & \TTbf{V} & \\
F & F & V & F & ? & ? & ? & F & & \TTbf{F} & \\
F & F & F & V & & & & & & \TTbf{V} & \\
F & F & F & F & & & & V& & \TTbf{V} & \\
\end{tabular}
\end{center}
Agora devemos avaliar as premissas. Usamos os atalhos onde é possível:%We must now evaluate the premises. We use shortcuts where we can:
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c c c c | d e f |d e e f |d e e e f |d e e f }
$A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $A$ & $\eor$ & $B$ & $\enot$ & $(A$ &$\eand$ &$ C)$ & $\enot$ & $(B$ & $\eand$ & $\enot$ & $D)$ & $(\enot$ &$C$& $\eor$ & $D)$\\
\hline
V & V & V & V & & && & && & && & & & &  &  \TTbf{V} & \\
V & V & V & F & &\TTbf{V}& & \TTbf{F}& &V& & & & & & & F & &  \TTbf{F} & \\
V & V & F & V & & && & && & &&  & &   & & &  \TTbf{V} & \\
V & V & F & F & & && & && & &&  &  &   & V & &  \TTbf{V} & \\
V & F & V & V & & && & && & &&  &  &  & & &  \TTbf{V} & \\
V & F & V & F & &\TTbf{V}& &\TTbf{F}& &V& &  && & & & F & & \TTbf{F} & \\
V & F & F & V & & && & && & && & & & & & \TTbf{V} & \\
V & F & F & F & & && & && & && & & & V &  & \TTbf{V} & \\
F & V & V & V& & && & && & & & & & & & & \TTbf{V} & \\
F & V & V & F & &\TTbf{V}& & \TTbf{V}& & F& & \TTbf{F}& & V& V&  & F &  & \TTbf{F} & \\
F & V & F & V & & && & && & && & &  & & & \TTbf{V} & \\
F & V & F & F& & && & && & && & & &V & & \TTbf{V} & \\
F & F & V & V & & && & && & && & & & & & \TTbf{V} & \\
F & F & V & F & & \TTbf{F} & & & & & & &&  &  &  & F & & \TTbf{F} & \\
F & F & F & V & & && & && & && & & & & & \TTbf{V} & \\
F & F & F & F & & && & && & && & & & V& & \TTbf{V} & \\
\end{tabular}
\end{center}
%If we had used no shortcuts, we would have had to write 256 `T's or `F's on this table. Using shortcuts, we only had to write 37. We have saved ourselves a \emph{lot} of work.
Se não tivéssemos usado atalhos, teríamos de escrever 256 `V's ou `F's nesta tabela. Usando atalhos, tivêmos de escrever apenas 37. Econmizamos \emph{muito} trabalho.
%
Estivemos discutindo atalhos para testar validade lógica, mas eaxatamente os mesmos atalhos podem ser usados para testar acarretamento. Empregando a noção similar de linhas \emph{ruins}, podemos economizar um enorme trabalho.
%We have been discussing shortcuts in testing for logically validity, but exactly the same shortcuts can be used in testing for entailment. By employing a similar notion of \emph{bad} lines, you can save yourself a huge amount of work.

\practiceproblems
\problempart
\label{pr.TT.TTorC2}
Usando atalhos, determine se cada sentença é uma tautologia, uma contradição ou nenhuma das duas. %Using shortcuts, determine whether each sentence is a tautology, a contradiction, or neither. 
\begin{earg}
\item $\enot B \eand B$ %contra
\item $\enot D \eor D$ %taut
\item $(A\eand B) \eor (B\eand A)$ %contingent
\item $\enot[A \eif (B \eif A)]$ %contra
\item $A \eiff [A \eif (B \eand \enot B)]$ %contra
\item $\enot(A\eand B) \eiff A$ %contingent
\item $A\eif(B\eor C)$ %contingent
\item $(A \eand\enot A) \eif (B \eor C)$ %tautology
\item $(B\eand D) \eiff [A \eiff(A \eor C)]$%contingent
\end{earg}


\chapter{Tabelas de verdade parciais}\label{s:PartialTruthTable}%Partial truth tables

Às vezes, não precisamos saber o que acontece em qualquer linha da tabela de verdade. Às vezes, uma linha ou duas sjá são suficientes.
%Sometimes, we do not need to know what happens on every line of a truth table. Sometimes, just a line or two will do. 

\paragraph{Tautologia.} 
%In order to show that a sentence is a tautology, we need to show that it is true on every valuation. That is to say, we need to know that it comes out true on every line of the truth table. So we need a complete truth table. 
A fim de mostrar que uma sentença é uma tautologia, precisamos mostrar que ela é verdadeira em qualquer valoração. Ou seja, precisamos saber que ela é verdadeira em qualquer linha da tabela de verdade. Assim, necessitamos de uma tabela de verdade completa. 
%To show that a sentence is \emph{not} a tautology, however, we only need one line: a line on which the sentence is false. Therefore, in order to show that some sentence is not a tautology, it is enough to provide a single valuation---a single line of the truth table---which makes the sentence false. 

Para mostrar, entretanto, que uma sentença \emph{não} é uma tautologia, só precisamos mostrar uma linha: uma linha na qual a sentença é falsa. Portanto, a fim de mostrar que alguma sentença não é uma tautologia, é suficiente fornecer uma única valoração --- uma única linha da tabela de verdade --- que faça a sentença falsa.
%

Suponha que queremos mostrar que a sentença `$(U \eand T) \eif (S \eand W)$' \emph{não} é uma tautologia. Estabelecemos uma \define{tabela de verdade parcial}
%
%Suppose that we want to show that the sentence `$(U \eand T) \eif (S \eand W)$' is \emph{not} a tautology. We set up a \define{partial truth table}:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c |d e e e e e f}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
   &   &   &   &    &   &    &\TTbf{F}&    &   &   
\end{tabular}
\end{center}
%We have only left space for one line, rather than 16, since we are only looking for one line on which the sentence is false. For just that reason, we have filled in `F' for the entire sentence. 
Deixamos espaço paenas para uma linha em vez de 16, porque estamos somente procurando por uma linha na qual a sentença é falsa. Por esta mesma razão, colocamos `F' para sentença inteira.
%The main logical operator of the sentence is a conditional. In order for the conditional to be false, the antecedent must be true and the consequent must be false. 

O conectivo lógico principal da sentença é um condicional. Para o condicional ser falso, o antecedente dever ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Coloque estes valores na tabela:
%
%So we fill these in on the table:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c |d e e e e e f}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
   &   &   &   &    &  V  &    &\TTbf{F}&    &   F &   
\end{tabular}
\end{center}
Para `$(U\eand T)$' ser verdadeira, tanto `$U$' como `$T$' devem ser verdadeiras.
%In order for the `$(U\eand T)$' to be true, both `$U$' and `$T$' must be true.
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c|d e e e e e f}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
   & V & V &   &  V &  V  & V  &\TTbf{F}&    &   F &   
\end{tabular}
\end{center}
%Now we just need to make `$(S\eand W)$' false. To do this, we need to make at least one of `$S$' and `$W$' false. We can make both `$S$' and `$W$' false if we want.  All that matters is that the whole sentence turns out false on this line.  Making an arbitrary decision, we finish the table in this way:
Agora, precisamos apenas tornar `$(S\eand W)$' falsa. Para fazer isto, precisamos tornar pelo menos uma das sentenças `$S$' e `$W$' falsa. Podemos fazer tanto `$S$' como `$W$' falsas, se quisermos. Tudo que importa é que a sentença inteira se torne falsa nesta linha. Tomando-se uma decisão arbitrária, teminamos a tabelas da seguinte forma: 
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c|d e e e e e f}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
 F & T & T & F &  T &  T  & T  &\TTbf{F}&  F &   F & F  
\end{tabular}
\end{center}
%We now have a partial truth table, which shows that `$(U \eand T) \eif (S \eand W)$' is not a tautology. Put otherwise, we have shown that there is a valuation which makes `$(U \eand T) \eif (S \eand W)$' false, namely, the valuation which makes `$S$' false, `$T$' true, `$U$' true and `$W$' false. 
Agora temos uma tabela de verdade parcial  que mostra que `$(U \eand T) \eif (S \eand W)$' não é uma tautologia. Falando de outra forma, mostramos que existe uma valoração qie faz `$(U \eand T) \eif (S \eand W)$' falsa, a saber, a valoração que faz `$S$' falsa, `$T$' verdadeira, `$U$' verdadeira e `$W$' falsa. 

\paragraph{Contradição.}
Mostrar que algo é uma contradição exige uma tabela completa: precisamos mostrar que não há valoração que faça a sentença verdadeira; ou seja, precisamos mostrar que a sentença é falsa em qualquer linha da tabela de verdade.
%Showing that something is a contradiction requires a complete truth table: we need to show that there is no valuation which makes the sentence true; that is, we need to show that the sentence is false on every line of the truth table. 
%However, to show that something is \emph{not} a contradiction, all we need to do is find a valuation which makes the sentence true, and a single line of a truth table will suffice. We can illustrate this with the same example.
Entretanto, para mostrar que algo \emph{não} é uma contradição, tudo que precisamos fazer é encontrar uma valoração que faça a sentença verdadeira e uma única linha de uma tabela de verdade será suficiente. Podemos ilustrar isto com o mesmo exemplo:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c|d e e e e e f}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
  &  &  &  &   &   &   &\TTbf{V}&  &  &
\end{tabular}
\end{center}
%
Para tornar a sentença verdadeira, será suficiente garantir que o antecedente é falso. Uma vez que o antecedente é uma conjunção, podemos tornar um dos conjunctos falso. Arbitrariamente, escolhemos tornar `$U$' falsa; e, então, podemos atribuir qualquer valor de verdade que quisermos às outrasletras sentenciais.
%To make the sentence true, it will suffice to ensure that the antecedent is false. Since the antecedent is a conjunction, we can just make one of them false. For no particular reason, we choose to make `$U$' false; and then we can assign whatever truth value we like to the other sentence letters.
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c|d e e e e e f}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
 F & V & F & F &  F &  F  & V  &\TTbf{V}&  F &   F & F
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph{Equivalência.}
Para mostrar que duas sentenças são equivalentes, devemos mostrar que as sentenças tê o mesmo valor de verdade em qualquer valoração. Isto exige uma tabela de verdade completa.
%
%To show that two sentences are equivalent, we must show that the sentences have the same truth value on every valuation. So this requires a  complete truth table.
%To show that two sentences are \emph{not} equivalent, we only need to show that there is a valuation on which they have different truth values. So this requires only a one-line partial truth table:  make the table so that one sentence is true and the other false.

Para mostrar que duas sentenças \emph{não} são equivalentes, apenas precisamos mostrar que existe uma valoração na qual elas têm diferentes valores de verdade. Assim, isto requer apenas uma tabela de verdade parcial de uma linha: faça uma tabela de forma que uma sentença seja verdadeira e a outra, falsa.


\paragraph{Consistência.}
Para mostrar que algumas sentenças são conjuntamente satisfatíveis, devemos mostrar que há uma valoração que torne todas as sentenças verdadeiras, portanto isto exige apenas uma tabela de verdade parcial com uma única linha.
%
%To show that some sentences are jointly satisfiable, we must show that there is a valuation which makes all of the sentences true,so this requires only a partial truth table with a single line. 
%To show that some sentences are jointly unsatisfiable, we must show that there is no valuation which makes all of the sentence true. So this requires a complete truth table: You must show that on every row of the table at least one of the sentences is false.

Para mostrar que algumas sentenças são conjuntamente insatisfatíveis, devemos mostrar que não há valoração que faça todas as sentenças verdadeiras. Isto requer uma tabela de verdade completa: você deve mostrar que, em toda linha da tabela de verdade, pelo menos uma das sentenças é falsa.

\paragraph{Validade.}
Para mostrar que um argumento é válido, devemos mostrar que não há valoração que faça todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Assim, isto exige uma tabela de verdade completa (similarmente para acarretamento).
%
%
%To show that an argument is valid, we must show that there is no valuation which makes all of the premises true and the conclusion false. So this  requires a complete truth table.  (Likewise for entailment.)
%

Para mostrar que um argumento é \emph{inválido}, devemos mostrar que há uma valoração que faça todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Desse modo, isto requer apenas uma tabela de verdade parcial com uma única linha na qual todas as premissas  são verdadeiras e a conclusão é falsa (similarmente para acarretamento).

%To show that argument is \emph{invalid}, we must show that there is a valuation which makes all of the premises true and the conclusion false. So this requires only a one-line partial truth table on which all of the premises are true and the conclusion is false. (Likewise for a failure of entailment.)

Esta tabela resume o que é requerido:%This table summarises what is required:

\begin{center}
\begin{tabular}{l l l}
%\cline{2-3}
 & \textbf{Sim} & \textbf{Não}\\
 \hline
%\cline{2-3}
tautologia? & completa & parcial com uma linha \\
contradição? &  completa & parcial com uma linha  \\
%contingent? & two-line partial truth table & complete truth table\\
equivalente? & complete  & parcial com uma linha \\
satisfatível? & parcial com uma linha  & completa \\
válido? & completa & parcial com uma linha  \\
acarretamento? & completa & parcial com uma linha \\
\end{tabular}
\end{center}
\label{table.CompleteVsPartial}


\practiceproblems
\solutions

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.equiv3}
Use tabelas de verdade parciais ou completas (conforme apropriado) para determinar se estes pares de sentenças  são logicamente equivalentes:
%Use complete or partial truth tables (as appropriate) to determine whether these pairs of sentences are logically equivalent:
\begin{earg}
\item $A$, $\enot A$ %No
\item $A$, $A \eor A$ %Yes
\item $A\eif A$, $A \eiff A$ %Yes
\item $A \eor \enot B$, $A\eif B$ %No
\item $A \eand \enot A$, $\enot B \eiff B$ %Yes
\item $\enot(A \eand B)$, $\enot A \eor \enot B$ %Yes
\item $\enot(A \eif B)$, $\enot A \eif \enot B$ %No
\item $(A \eif B)$, $(\enot B \eif \enot A)$ %Yes
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.satisfiable4}
Use tabelas de verdade parciais ou completas (conforme apropriado) para determinar estas sentenças são conjuntamente satisfatíveis ou conjuntamente insatisfatíveis:
%Use complete or partial truth tables (as appropriate) to determine whether these sentences are jointly satisfiable, or jointly unsatisfiable:
\begin{earg}
\item $A \eand B$, $C\eif \enot B$, $C$ %unsatisfiable
\item $A\eif B$, $B\eif C$, $A$, $\enot C$ %unsatisfiable
\item $A \eor B$, $B\eor C$, $C\eif \enot A$ %satisfiable
\item $A$, $B$, $C$, $\enot D$, $\enot E$, $F$ %satisfiable
\item $A \eand (B \eor C)$, $\enot(A \eand C)$, $\enot(B \eand C)$ %satisfiable
\item $A \eif B$, $B \eif C$, $\enot(A \eif C)$ %unsatisfiable
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.valid4}
Use tabelas de verdade parciais ou completas (conforme apropriado) para determinar se cada argumento é válido ou inválido:
%Use complete or partial truth tables (as appropriate) to determine whether each argument is valid or invalid:
\begin{earg}
\item $A\eor\bigl[A\eif(A\eiff A)\bigr] \therefore A$ %invalid
\item $A\eiff\enot(B\eiff A) \therefore A$ %invalid
\item $A\eif B, B \therefore A$ %invalid
\item $A\eor B, B\eor C, \enot B \therefore A \eand C$ %valid
\item $A\eiff B, B\eiff C \therefore A\eiff C$ %valid
\end{earg}

\problempart
\label{pr.TT.TTorC3}
Determine se cada sentença é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência. Justifique sua resposta com uma tabela de verdade completa ou parcial conforme apropriado.
%Determine whether each sentence is a tautology, a contradiction, or a contingent sentence. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.

% truth tables in LaTeX generated by http://www.curtisbright.com/logic/. Be sure to give him a shout out.

\begin{earg}
\item  $A \eif \enot A$ \vspace{.5ex}							

%{\color{red}
%$
%\begin{array}{c|cccc}
%A&A&\eif&\enot&A\\\hline
%T&T&\mathbf{F}&F&T\\
%F&F&\mathbf{T}&T&F
%\end{array}
%$ 
%
%Contingent	 \vspace{6pt}
%}
%	T letter, 2 connectives
\item $A \eif (A \eand (A \eor B))$ \vspace{.5ex}	

%{\color{red}
%$
%\begin{array}{cc|ccc@{}ccc@{}ccc@{}c@{}c}
%A&B&A&\eif&(&A&\eand&(&A&\eor&B&)&)\\\hline
%T&T&T&\mathbf{T}&&T&T&&T&T&T&&\\
%T&F&T&\mathbf{T}&&T&T&&T&T&F&&\\
%F&T&F&\mathbf{T}&&F&F&&F&T&T&&\\
%F&F&F&\mathbf{T}&&F&F&&F&F&F&&
%\end{array}
%$
%
%Tautology \vspace{6pt}
%}
%			2 letters, 3 connectives

\item $(A \eif B) \eiff (B \eif A)$ 	\vspace{.5ex}				%
%
%{\color{red}
%$
%\begin{array}{cc|c@{}ccc@{}ccc@{}ccc@{}c}
%a&b&(&a&\rightarrow&b&)&\leftrightarrow&(&b&\rightarrow&a&)\\\hline
%T&T&&T&T&T&&\mathbf{T}&&T&T&T&\\
%T&F&&T&F&F&&\mathbf{F}&&F&T&T&\\
%F&T&&F&T&T&&\mathbf{F}&&T&F&F&\\
%F&F&&F&T&F&&\mathbf{T}&&F&T&F&
%\end{array}
%$
%
%Contingent \vspace{6pt}
%
%}
%		2 letters, 3 connectives

\item $A \eif \enot(A \eand (A \eor B)) $	\vspace{.5ex}	

%{\color{red}
%$
%\begin{array}{cc|cccc@{}ccc@{}ccc@{}c@{}c}
%a&b&a&\rightarrow&\enot&(&a&\eand&(&a&\eor&b&)&)\\\hline
%T&T&T&\mathbf{F}&F&&T&T&&T&T&T&&\\
%T&F&T&\mathbf{F}&F&&T&T&&T&T&F&&\\
%F&T&F&\mathbf{T}&T&&F&F&&F&T&T&&\\
%F&F&F&\mathbf{T}&T&&F&F&&F&F&F&&
%\end{array}
%$
%
%Contingent	\vspace{6pt}
%
%}
%
% 2 letters, 4 connectives

\item $\enot B \eif [(\enot A \eand A) \eor B]$\vspace{.5ex} 

%{\color{red}
%$
%\begin{array}{cc|cccc@{}c@{}cccc@{}ccc@{}c}
%a&b&\enot&b&\rightarrow&(&(&\enot&a&\eand&a&)&\eor&b&)\\\hline
%T&T&F&T&\mathbf{T}&&&F&T&F&T&&T&T&\\
%T&F&T&F&\mathbf{F}&&&F&T&F&T&&F&F&\\
%F&T&F&T&\mathbf{T}&&&T&F&F&F&&T&T&\\
%F&F&T&F&\mathbf{F}&&&T&F&F&F&&F&F&
%\end{array}
%$
%Contingent	 \vspace{6pt}
%
%}
%	2 letters, 5 connectives

\item $\enot(A \eor B) \eiff (\enot A \eand \enot B)$ \vspace{.5ex}

%{\color{red}
%$
%\begin{array}{cc|cc@{}ccc@{}ccc@{}ccccc@{}c}
%a&b&\enot&(&a&\eor&b&)&\leftrightarrow&(&\enot&a&\eand&\enot&b&)\\\hline
%T&T&F&&T&T&T&&\mathbf{T}&&F&T&F&F&T&\\
%T&F&F&&T&T&F&&\mathbf{T}&&F&T&F&T&F&\\
%F&T&F&&F&T&T&&\mathbf{T}&&T&F&F&F&T&\\
%F&F&T&&F&F&F&&\mathbf{T}&&T&F&T&T&F&
%\end{array}
%$
%
%Tautology \vspace{6pt}
%}
%2 letters, 6 connectives

\item $[(A \eand B) \eand C] \eif B$\vspace{.5ex}							
%
%{\color{red}
%$
%\begin{array}{ccc|c@{}c@{}ccc@{}ccc@{}ccc}
%a&b&c&(&(&a&\eand&b&)&\eand&c&)&\rightarrow&b\\\hline
%T&T&T&&&T&T&T&&T&T&&\mathbf{T}&T\\
%T&T&F&&&T&T&T&&F&F&&\mathbf{T}&T\\
%T&F&T&&&T&F&F&&F&T&&\mathbf{T}&F\\
%T&F&F&&&T&F&F&&F&F&&\mathbf{T}&F\\
%F&T&T&&&F&F&T&&F&T&&\mathbf{T}&T\\
%F&T&F&&&F&F&T&&F&F&&\mathbf{T}&T\\
%F&F&T&&&F&F&F&&F&T&&\mathbf{T}&F\\
%F&F&F&&&F&F&F&&F&F&&\mathbf{T}&F
%\end{array}
%$
%
%Tautology \vspace{6pt}
%}
%
%3 letters, 3 connectives

\item $\enot\bigl[(C\eor A) \eor B\bigr]$\vspace{.5ex} 						
%
%{\color{red}
%$
%\begin{array}{ccc|cc@{}c@{}ccc@{}ccc@{}c}
%a&b&c&\enot&(&(&c&\eor&a&)&\eor&b&)\\\hline
%T&T&T&\mathbf{F}&&&T&T&T&&T&T&\\
%T&T&F&\mathbf{F}&&&F&T&T&&T&T&\\
%T&F&T&\mathbf{F}&&&T&T&T&&T&F&\\
%T&F&F&\mathbf{F}&&&F&T&T&&T&F&\\
%F&T&T&\mathbf{F}&&&T&T&F&&T&T&\\
%F&T&F&\mathbf{F}&&&F&F&F&&T&T&\\
%F&F&T&\mathbf{F}&&&T&T&F&&T&F&\\
%F&F&F&\mathbf{T}&&&F&F&F&&F&F&
%\end{array}
%$
%
%Contingent \vspace{6pt}
%
%}
%	 	3 letters, 3 connectives

\item $\bigl[(A\eand B) \eand\enot(A\eand B)\bigr] \eand C$ \vspace{.5ex}	
%
%{\color{red}
%$
%\begin{array}{ccc|c@{}c@{}ccc@{}cccc@{}ccc@{}c@{}ccc}
%a&b&c&(&(&a&\eand&b&)&\eand&\enot&(&a&\eand&b&)&)&\eand&c\\\hline
%T&T&T&&&T&T&T&&F&F&&T&T&T&&&\mathbf{F}&T\\
%T&T&F&&&T&T&T&&F&F&&T&T&T&&&\mathbf{F}&F\\
%T&F&T&&&T&F&F&&F&T&&T&F&F&&&\mathbf{F}&T\\
%T&F&F&&&T&F&F&&F&T&&T&F&F&&&\mathbf{F}&F\\
%F&T&T&&&F&F&T&&F&T&&F&F&T&&&\mathbf{F}&T\\
%F&T&F&&&F&F&T&&F&T&&F&F&T&&&\mathbf{F}&F\\
%F&F&T&&&F&F&F&&F&T&&F&F&F&&&\mathbf{F}&T\\
%F&F&F&&&F&F&F&&F&T&&F&F&F&&&\mathbf{F}&F
%\end{array}
%$
%
%Contradiction \vspace{6pt}
%
%}
%
%% 	3 letters, 5 connectives
%
\item $(A \eand B) ]\eif[(A \eand C) \eor (B \eand D)]$ \vspace{.5ex}		
%
%{\color{red}
%$
%\begin{array}{cccc|c@{}c@{}ccc@{}c@{}ccc@{}c@{}ccc@{}ccc@{}ccc@{}c@{}c}
%a&b&c&d&(&(&a&\eand&b&)&)&\eif&(&(&a&\eand&c&)&\eor&(&b&\eand&d&)&)\\\hline
%T&T&T&T&&&T&T&T&&&\mathbf{T}&&&T&T&T&&T&&T&T&T&&\\
%T&T&F&F&&&T&T&T&&&\mathbf{F}&&&T&F&F&&F&&T&F&F&&\\
%\end{array}
%$
%
%Contingent \vspace{6pt}
%}
%
%	4 letters, 5 connectives
\end{earg}

\noindent\problempart
\label{pr.TT.TTorC4}
Determine se cada sentença é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência. Justifique sua resposta com uma tabela de verdade completa ou parcial conforme apropriado.
%Determine whether each sentence is a tautology, a contradiction, or a contingent sentence. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\begin{earg}
\item  $\enot (A \eor A)$\vspace{.5ex}							%	Contradiction		1 letter, 2 connectives
\item $(A \eif B) \eor (B \eif A)$\vspace{.5ex}					%	Tautology			2 letters, 2 connectives
\item $[(A \eif B) \eif A] \eif A$\vspace{.5ex}					%	Tautology			2 letters, 3 connectives
\item $\enot[( A \eif B) \eor (B \eif A)]$\vspace{.5ex}			%	Contradiction		2 letters, 4 connectives
\item $(A \eand B) \eor (A \eor B)$\vspace{.5ex} 				%	Contingent		2 letters, 5 connectives
\item $\enot(A\eand B) \eiff A$\vspace{.5ex} 					%contingent			2 letters, 3 connectives
\item $A\eif(B\eor C)$\vspace{.5ex} 							%contingent			3 letters, 2 connectives
\item $(A \eand\enot A) \eif (B \eor C)$\vspace{.5ex} 			%tautology			3 letters, 4 connectives 
\item $(B\eand D) \eiff [A \eiff(A \eor C)]$\vspace{.5ex}			%contingent			4 letters, 4 connectives
\item $\enot[(A \eif B) \eor (C \eif D)]$\vspace{.5ex} 			% Contingent. 		4 letters, 4 connectives
\end{earg}



\noindent\problempart
Determine se os seguintes pares de sentenças são logicamente equivalentes, usando tabelas de verdade completas. Se as duas sentenças forem, de fato, equivalentes, escreva ``equivalente''. Caso contrário, escreva ``não equivalente''.
%Determine whether each the following pairs of sentences are logically equivalent using complete truth tables. If the two sentences really are logically equivalent, write ``equivalent.'' Otherwise write, ``not equivalent.''
\begin{earg}
\item $A$ and $A \eor A$
\item $A$ and $A \eand A$
\item $A \eor \enot B$ and $A\eif B$
\item $(A \eif B)$ and $(\enot B \eif \enot A)$
\item $\enot(A \eand B)$ and $\enot A \eor \enot B$
\item $ ((U \eif (X \eor X)) \eor U)$ and $\enot (X \eand (X \eand U))$
\item $ ((C \eand (N \eiff C)) \eiff C)$ and $(\enot \enot \enot N \eif C)$
\item $[(A \eor B) \eand C]$ and $[A \eor (B \eand C)]$
\item $((L \eand C) \eand I)$ and $L \eor C$
\end{earg}


\noindent\problempart
\label{pr.TT.satisfiable5}
Determine se cada coleção de sentenças é conjntamente satisfatível ou conjuntamente insatisfatível. Justifique sua resposta com uma tabela de verdade completa ou parcial conforme apropriado.
%Determine whether each collection of sentences is jointly satisfiable or jointly unsatisfiable. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\begin{earg}
\item $A\eif A$, $\enot A \eif \enot A$, $A\eand A$, $A\eor A$ %satisfiable
\item $A \eif \enot A$, $\enot A \eif A$%unsatisfiable. 
\item $A\eor B$, $A\eif C$, $B\eif C$ %satisfiable
\item $A \eor B$, $A \eif C$, $B \eif C$, $\enot C$ %	Insatisfiable
\item $B\eand(C\eor A)$, $A\eif B$, $\enot(B\eor C)$  %unsatisfiable
\item $(A \eiff B) \eif B$,  $B \eif \enot (A \eiff B)$, $A \eor B$  %	Consistent
\item $A\eiff(B\eor C)$, $C\eif \enot A$, $A\eif \enot B$ %satisfiable
\item  $A \eiff B$,  $\enot B \eor \enot A$,  $A \eif  B$ % Consistent
\item $A \eiff B$, $A \eif C$, $B \eif D$, $\enot(C \eor D)$ %consitent
\item $\enot (A \eand \enot B)$,  $B \eif \enot A$, $\enot B$   %Consistent
\end{earg}

\noindent\problempart Determine se cada argumento é válido ou inválido. Justifique sua resposta com uma tabela de verdade completa ou parcial conforme apropriado.
%Determine whether each argument is valid or invalid. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\label{pr.TT.valid5} 
\begin{earg}
\item $A\eif(A\eand\enot A)\therefore \enot A$% valid
\item $A \eor B$, $A \eif B$, $B \eif A \therefore  A \eiff B$  % Valid
\item $A\eor(B\eif A)\therefore \enot A \eif \enot B$ %valid
\item $A \eor B$, $A \eif B$, $ B \eif A \therefore  A \eand B$ %valid
\item $(B\eand A)\eif C$, $(C\eand A)\eif B\therefore (C\eand B)\eif A$ % invalid
\item $\enot (\enot A \eor \enot B)$, $A \eif \enot C \therefore  A \eif (B \eif C)$ % invalid.
\item $A \eand (B \eif C)$, $\enot C \eand (\enot B \eif \enot A)\therefore C \eand \enot C$ % valid
\item $A \eand B$, $\enot A \eif \enot C$, $B \eif \enot D \therefore  A \eor B$ % Invalid
\item $A \eif B\therefore (A \eand B) \eor (\enot A \eand \enot B)$ % invalid
\item $\enot A \eif B$,$ \enot B \eif C $,$ \enot C \eif A \therefore  \enot A \eif (\enot B \eor \enot C) $% Invalid

\end{earg}

\noindent\problempart Determine se cada argumento é válido ou inválido. Justifique sua resposta com uma tabela de verdade completa ou parcial conforme apropriado.
%Determine whether each argument is valid or invalid. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\label{pr.TT.valid6} 
\begin{earg}
\item $A\eiff\enot(B\eiff A)\therefore A$ % invalid
\item $A\eor B$, $B\eor C$, $\enot A\therefore B \eand C$ % invalid
\item $A \eif C$, $E \eif (D \eor B)$, $B \eif \enot D\therefore (A \eor C) \eor (B \eif (E \eand D))$ % invalid
\item $A \eor B$, $C \eif A$, $C \eif B\therefore A \eif (B \eif C)$ % invalid
\item $A \eif B$, $\enot B \eor A\therefore A \eiff B$ % valid
\end{earg}

